Bonjour,
Je tente :

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53

salut

pas l'impression qu'on puisse trouver  x,y, et z tous srictement positifs tel que  x²+y²+z²=25    ..sauf erreur de ma part  

Bonjour,
Voyons, flight : . Ce qui donne la valeur annoncée par Sylvieg.

Oups j'ai cru comprendre qu'il s'agissait d'entiers naturels... des, lunettes s'imposent merci GBZM😊

Bon debut !

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On conjecture facilement que E>=5*sqrt(3) ce que confirme .
Ensuite...

Bonjour,

Un essai non concluant qui donnera peut-être des idées à d'autres :

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Moyenne arithmétique supérieure à moyenne géométrique :

  

Moyenne arithmétique supérieure à moyenne harmonique :



Dans ces deux inégalités, il y a égalité lorsque

Mais je ne parviens pas à conclure.

Bonjour

J'ai tendance à prendre les problèmes à l'envers mais il me semble qu'on s'en sort en utilisant

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Cauchy-Schwarz avec les vecteurs et

Bonsoir

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Si on note



on a


ce qui donne en utilisant l'inégalité classique


_{sauf erreur bien entendu}

Chapeau bas
On peut difficilement faire plus simple !

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J'ai fait (x*y/z+x*z/y+y*z/x)^2-3*25=(x*y/z+x*z/y+y*z/x)^2-3*(x^2+y^2+z^2)=somme de 3 carres

Bonjour,
Bravo à tous les deux
La solution de alb12 ne serait-elle pas plus claire avec un 1/2 devant "somme de trois carrés" ?
Je n'avais rien trouvé...
Je me contente donc d'une tentative de synthèse de vos deux démonstrations.

Avec et

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L'idée commune est de travailler sur S².
S² = T + 2(x² + y² + z²)
Il suffit alors de démontrer T x² + y² + z².
Ce qui se fait en écrivant que 2T - 2(x² + y² + z²) est la somme de trois carrés :

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Il me semble qu'en supposant seulement x, y et z non nuls, on peut obtenir


D'où