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Modèle de Verhulst

Posté par
Astaroth 21-04-24 à 15:47

Bonjour je bloque sur un énoncé depuis quelques heures , pouvez vous m'aider ?
(T exprime en heures et f(0) = 100 000
On suppose ici que f est solution de l'équation différentielle (E) : y' = (3/2 - ky) où k est une constante réelle strictement positive qui dépend de l'environnement et des bactéries.

a) Vérifier l'équivalence suivante :
y'= y (3/2 - ky). <=> (1/y)' = -3/2 (1/y) + k

b) En déduire qu'une fonction f est solution de (E) si et seulement si 1/f   est solution de l'équation (E')
suivante : z' = (-3/2)z + k où la fonction inconnue est z(t).

c) Résoudre l'équation (E) puis en déduire l'expression de f(t) en fonction de k.
d) On a constaté que la population de bactéries tend à se stabiliser à 10 000 000 d'individus.
En déduire la valeur de k.

e) Étudier les variations de la fonction f

f) Justifier que f" = (3 - 2kf) f'.
En déduire que la courbe Cf représentative de f admet un point d'inflexion que l'on précisera.
Interpréter ce résultat pour décrire la croissance de la population dans ce modèle.


A) J'ai développé membre a membre pour tomber sur la meme chose.

B) En traduisant avec les équivalences je me suis débrouillé

C) d'après mon cours les solutions de (E') sont :
Z(t) = Ce^(-3/2t) + (2/3)K

Comme z = 1/f , j'ai déduis que ;
F(t) = 1/(Ce^((-2/3)t) + (2/3)k

ET la , blocage complet
D) la condition initiale nous donne f(0) = 100 000 , mais j'ai pas réussis a continue etant donne des deux inconnues C et K

Merci d'avance

Posté par
candide2re : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 17:28

Bonjour,

Tu as trouvé : f(t) = 1/(Ce^((-2/3)t) + (2/3)k)

Et l'énoncé dit que f(0) = 100000
--> tu peux trouver C (qui dépendra de k)

Ensuite, pour la question d :

lim(t--> +oo) = f(t) = ...
et cette limite = 10000000
Cela te permettra de trouver la valeur de k.

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 18:00

J'ai effectivement pensé a cela et j'ai trouvé :

C =(1/100 000) - (2/3)k
Donc on a f(t) = 1/((1/100 000) - (2/3)k)e^((-3/2)t) + (2/3)k

Et également j'ai pris en compte que quand t tend vers + l'infini,

F(t) = 1/((1/100 000) - (2/3)k + (2/3)k = 1/ (1/100 000)

Je comprends pas étant donne que les k s'annulent ??

Posté par
Pirhore : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 18:39

Bonjour,

en attendant le retour de candide2

tu t'es trompé, repars de l'expression ci-dessous

f(t)=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{100000}-\dfrac{2}{3}K\right)e^{-\dfrac{3\,t}{2}}+\dfrac{2}{3}K}} \\

\lim_{t\to+\infty}f(t)=\red 10000000}

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 18:44

Quel passage je me suis trompé ?
Quand t tend vers inf
L'exponentielle devient 0
Donc toute la parenthèse = 0 ?
D'où
10 000 000 = 1/(2/3)k ???

Posté par
Pirhore : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 18:47

oui ça c'est correct car le le dernier terme du dénominateur ne dépend pas de t

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 18:48

3h de galère parce que j'ai pensé que e^- inf = 1



Merci Beaucoup

Posté par
Pirhore : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 18:50

de rien

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 21:45

J'ai un nouveau problème avec la f)
Pour montrer une telle égalité faudrait que je dérive une fonction sauf que je n'y arrive pas !

F'(t) =( 297e(-3t/2))
                                  /20000000(99e(−3t/2)/(10000000)+1/10000000)

J'essaye de faire ca le plus compréhensible possible mais je n'arrive pas à écrire avec les outils du site désolé :/

Posté par
malou Webmasterre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 22:05

Bonsoir

tu as l'aide à l'écriture Ltx avec l'éditeur
Modèle de Verhulst

tu vois en allant ce que ça donne, quelques petits essais et tu vas comprendre vite

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 22:20

F(t) = \frac{297e^\frac{-3t}{2}}{20000000(\frac{99e^\frac{-3t}{2}}{10000000}+\frac{1}{10000000})}

Donc je voudrai dériver cela pour la f) cela est utile ? Ou peut on passer par un autre moyen ??

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 22:20

J'ai oublié de te remercié Malou

Posté par
lakere : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 22:30

Bonsoir,

Tu sais que f est solution de (E) donc que :

  f'=f\left(\dfrac{3}{2}-kf\right)
Il suffit de dériver cette relation pour obtenir f''
Au fait :

  

Citation :
f) Justifier que f" = (3 - 2kf) f'.


il me semble qu'il faut remplacer 3 par \dfrac{3}{2}

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 22:42

Ok d'accord, effectivement j'ai oublié le /2
Et donc en justifiant cela je vais savoir le point d'inflexion ?

F' j'ai obtenue qu'elle est croissante sur R donc le signe dépend de 3/2 - 2kf

Mais ensuite je déduis quoi ? Je remplace K par sa valeur ?

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 22:54

J'ai fais comme vous avez dit mais j'obtiens que :

F'' = f'(3/2 - kf) et non pas f'(3/2 - 2kf) …. Je ne comprend pas le 2

Posté par
lakere : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 22:59

f' est strictement positive (voir la question e)).
Donc f'' s'annule (en changeant de signe) lorsque f(t)= \dfrac{3}{4k}=5\,000\,000

Tu n'as plus qu'à résoudre l'équation f(t)=5\,000\,000 qui te donnera l'abscisse du point d'inflexion cherché.

Pour information, tu dois tomber sur t=\dfrac{2}{3}\,\ln(99) soit un peu plus de 3 heures de temps.

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 23:03

Je n'ai pas compris pourquoi = 5 000 000 ni le 3/4K :/

Posté par
lakere : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 23:04

Citation :
Je ne comprend pas le 2


f'=f\left(\dfrac{3}{2}-kf\right)

On dérive un produit :

f''=f'\left(\dfrac{3}{2}-kf\right)-kff'

On factorise f' ...

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 23:04

Ok non c'est bon j'ai compris mais pourquoi c'est égal à 5 000 000 ??

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 23:05

Oh , je vois MERCI beaucoup !!

Posté par
lakere : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 23:08

Citation :
Je n'ai pas compris pourquoi = 5 000 000 ni le 3/4K :/


L'équation \dfrac{3}{2}-2kf(t)=0

donne bien f(t)=\dfrac{3}{4k} non ?

Ensuite k=\dfrac{3}{20\,000\,000} (calculé à la question d)).

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 23:13

Merci infiniment ! Bonne soirée !

Posté par
lakere : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 23:15

De rien Astaroth
Ta courbe et son point d'inflexion :
Modèle de Verhulst

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 23:18

Incroyable ! J'aurai jamais pensé à faire ça merci

Posté par
lakere : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 23:20

Pas incroyable du tout : GeoGebra

Posté par
Astarothre : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 23:25

Vu mes compétences en Géogébra ….

Posté par
lakere : Modèle de Verhulst 21-04-24 à 23:50

Au cas où tu repasses par ici, j'ai oublié de te dire qu'il vaut mieux éviter les échafaudages dans l'écriture de f :

  f(t)=\dfrac{10\,000\,000}{1+99\,e^{-\frac{3}{2}t}}


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