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Module d'une fonction de transfert

Posté par
Hiruma 05-01-20 à 20:58

Bonsoir,
J'essaye de retrouver le module d'une fonction de transfert donc la transmittance complexe H(jw) s'écrit :

H(jw)=\frac{1+2[cos(-\omega Te)+jsin(-\omega Te)]+cos[(-2\omega Te)+jsin(-2\omega Te)}{1+0.5[cos(-\omega Te)+jsin(\omega Te)}

Sachant que \mid a+jb \mid =\sqrt{a²+b²} je ne sais pas comment réunir le tout car le 1 du départ me gène, je pensais écrire :

\mid H(jw) \mid =\frac{{1+2 \sqrt{cos²(\omega Te)-sin²(\omega Te)²}}+\sqrt{cos²(2\omega Te)-sin²(2\omega Te})}{1+ 0.5\sqrt{cos²(\omega Te)-sin²(\omega Te)}}
Avec cos(-x) = cos(x) et sin(-x) = -sin(x) cependant je bloque sur le développement

Merci de votre aide ^^'

Posté par
jarod128re : Module d'une fonction de transfert 05-01-20 à 21:40

Bonjour,
Je commencerai pas multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur

Posté par
Pirhore : Module d'une fonction de transfert 05-01-20 à 21:54

Bonsoir,

je commencerais déjà par poser x=\omega Te pour alléger un peu l'écriture

après transformation des cos et sin, il vient

H(j\omega)=\dfrac{1+2[cos(x)-jsin(x)]+cos(2x)-jsin(2x)}{1+0.5[cos(x)+j sin(x)]}

si tu es sûr de ton 2x et du signe plus au dénominateur

remplace cos(2x) et sin(2x) en fonction de x et transforme un peu le numérateur; ensuite multiplie haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur

Posté par
Pirhore : Module d'une fonction de transfert 05-01-20 à 22:05

Bonsoir jarod128

désolé, je n'avais pas vu ton post !

Posté par
Hirumare : Module d'une fonction de transfert 05-01-20 à 22:20

Bonsoir,
Je me suis trompé au niveau du dénominateur, on à plutôt sa comme transmittance :

H(jw)=\frac{1+2[cos(-\omega Te)+jsin(-\omega Te)]+cos(-2\omega Te)+jsin(-2\omega Te)}{1+0.5[cos(-\omega Te)+jsin(-\omega Te)]}

Je pose ensuite x=\omega Te pour obtenir :
H(j\omega)=\dfrac{1+2[cos(x)-jsin(x)]+cos(2x)-jsin(2x)}{1+0.5[cos(x)-j sin(x)]}

je dois utiliser les formules de trigonométrie sachant :
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)
sin(2a)=2sin(x)cos(x)

Pour obtenir :
H(j\omega)=\dfrac{1+2[cos(x)-jsin(x)]+(cos²(x)-sin²(x))-2jsin(x)cos(x)}{1+0.5[cos(x)-j sin(x)]}

A ce stade je ne sais plus quoi faire

Posté par
Pirhore : Module d'une fonction de transfert 05-01-20 à 22:29

au lieu de cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x) utilise 2cos^2(x)-1

Posté par
jarod128re : Module d'une fonction de transfert 05-01-20 à 22:33

Et ensuite regroupe les j ensembles et les pas j ensembles...

Posté par
Hirumare : Module d'une fonction de transfert 05-01-20 à 22:46

D'accord j'ai donc sa pour l'instant :
H(j\omega)=\dfrac{1+2[cos(x)-jsin(x)]+(2cos²(x)-1)-2jsin(x)cos(x)}{1+0.5[cos(x)-j sin(x)]}
Ensuite en simplifiant :
H(j\omega)=\dfrac{2cos(x)-2jsin(x)+2cos²(x)-2jsin(x)cos(x)}{1+0.5[cos(x)-j sin(x)]}
Et en regroupant Re(H(jw)) et Im(H(jw)) :
H(j\omega)=\dfrac{2cos(x)[1+cos(x)]-2jsin(x)[1-cos(x)]}{1+0.5[cos(x)-j sin(x)]}
En simplifiant le tout avec le dénominateur je trouve 0
Je vais voir si je peux pas simplifier autrement
Si vous avez des suggestions ? Merci d'avance

Posté par
Pirhore : Module d'une fonction de transfert 05-01-20 à 22:54

il y a une erreur de signe dans ton dernier H ... [1+cos(x)]

Posté par
Pirhore : Module d'une fonction de transfert 05-01-20 à 23:08

es-tu sûr du 0.5 au dénominateur?

Posté par
Hirumare : Module d'une fonction de transfert 05-01-20 à 23:14

Ah oui c'est vrai ^^' j'obtiens finalement le résultat de :

\mid H(jw) \mid =8(1+cos(x))=8(1+cos(\omega Te))

Je dois ensuite retrouver la transmittance en continue (H_{0}) à partir de \mid H(jw) \mid
Sachant que j'ai comme transmittance :

H(p) = \frac{1 + 2e^{-Tep}+e^{-2Tep}}{1+0.5e^{-Tep}}

Par calcul H_{0}=\frac{4}{1.5}=2.66

Comment je peux retrouver ce résultat à partir de \mid H(jw) \mid?
Merci de votre aide

Posté par
Hirumare : Module d'une fonction de transfert 05-01-20 à 23:35

Oui je suis sûr la transmittance défini au départ est :

H(jw) = \frac{1 + 2e^{-Tejw}+e^{-2Tejw}}{1+0.5e^{-Tejw}}

H(jw)=\frac{1+2[cos(-\omega Te)+jsin(-\omega Te)]+cos(-2\omega Te)+jsin(-2\omega Te)}{1+0.5[cos(-\omega Te)+jsin(-\omega Te)]}

Ensuite x=\omega Te, cos(-x)=cos(x),sin(-x)= sin(x)

H(j\omega)=\dfrac{1+2[cos(x)-jsin(x)]+cos(2x)-jsin(2x)}{1+0.5[cos(x)-j sin(x)]}

Puis j'applique les formules de trigonométrie :

H(j\omega)=\dfrac{1+2[cos(x)-jsin(x)]+(2cos²(x)-1)-2jsin(x)cos(x)}{1+0.5[cos(x)-j sin(x)]}

H(j\omega)=\dfrac{2cos(x)-2jsin(x)+2cos²(x)-2jsin(x)cos(x)}{1+0.5[cos(x)-j sin(x)]}

Et en regroupant Re(H(jw)) et Im(H(jw)) :

H(j\omega)=\dfrac{2cos(x)[1+cos(x)]-2jsin(x)[1+cos(x)]}{1+0.5[cos(x)-j sin(x)]}

\frac{2cos(x)}{0.5.cos(x)}=4 et

\frac{-2jsin(x)}{-0.5jsin(x)}=4

Finalement :

\mid H(jw) \mid=4(1+cos(x))+4(1+cos(x) = 8(1+cos(x))

Voilà ^^'

Posté par
jarod128re : Module d'une fonction de transfert 05-01-20 à 23:51

Tu me fais peur.
Séparé partie réelle et imaginaire au numérateur et au dénominateur. Sans oublier que 1 fait partie de la partie réelle.
Ensuite multiplie comme on te l'a indiqué par le conjugué du dénominateur

Posté par
gts2re : Module d'une fonction de transfert 06-01-20 à 06:53

Bonjour,

SI la fonction de transfert est définie sous forme exponentielle, pourquoi vouloir passer en cos/sin ?
Le calcul (1+e^{jx}+e^{2jx})\cdot (1+e^{-jx}+e^{-2jx}) est immédiat.

"Comment je peux retrouver ce résultat (H0) à partir de \mid H(jw) \mid? ?"

Il suffit de calculer H(w=0) avec e^{j0}=1, c'est simple et de prendre la norme.

Posté par
gts2re : Module d'une fonction de transfert 06-01-20 à 07:31

Bonjour,

C'est même encore plus simple, le dénominateur peut s'écrire 1+2X+X^2 avec X=e^{-jx}

Posté par
Pirhore : Module d'une fonction de transfert 06-01-20 à 07:54

Bonjour gts2

gts2 @ 06-01-2020 à 06:53

Bonjour,

SI la fonction de transfert est définie sous forme exponentielle, pourquoi vouloir passer en cos/sin ?
Le calcul (1+e^{jx}+e^{2jx})\cdot (1+e^{-jx}+e^{-2jx}) est immédiat.

certes j'y avais pensé mais en partant de

\dfrac{1+ 2 e^{-j x}+e^{-2 jx}}{1+0.5 e^{-jx}}

je ne vois pas , mais quelque chose m'échappe sûrement,  comment tu arrives à ton produit

Posté par
gts2re : Module d'une fonction de transfert 06-01-20 à 08:14

Bonjour,

H(\omega)=\frac{1+2\cdotexp(-jx)+exp(-2jx)}{1+0,5exp(-jx)}=\frac{(1+exp(-jx))^2}{1+0,5exp(-jx)}

Je calcule le module au carré pour alléger.

(\mid H(\omega) \mid)^2=\frac{\left((1+exp(-jx))(1+exp(jx))\right)^2}{(1+0,5exp(-jx))(1+0,5exp(jx))}=\frac{\left((1+1+exp(-jx)+exp(jx))\right)^2}{(1+0,25+0,5 exp(-jx)+0,5exp(-jx))}=\frac{\left(2(1+cos(x)\right)^2}{1,25+cos(x)}

\mid H(\omega) \mid=\frac{2(1+cos(x))}{\sqrt{1,25+cos(x)}}

Posté par
gts2re : Module d'une fonction de transfert 06-01-20 à 08:17

Bonjour,

Dans le premier calcul, j'avais oublié le facteur 2, d'où le deuxième message sur 1+2X+X^2.

Posté par
Pirhore : Module d'une fonction de transfert 06-01-20 à 08:17


sauf erreur !

\dfrac{1+ 2 e^{-j x}+e^{-2 jx}}{1+0.5 e^{-jx}}=\dfrac{(1+e^{-j x})^2}{1+0.5 e^{-jx}}

à continuer

Posté par
Pirhore : Module d'une fonction de transfert 06-01-20 à 08:55

gts2

en passant par l'angle moitié au numérateur je trouve comme module

\dfrac{4 cos^2\dfrac{x}{2}}{\sqrt{1.25+cos(x)}}

ce qui est la même chose que toi

merci quand même de m'avoir fait repasser par les exponentielles où je m'étais planté dans un 1er développement

Posté par
Hirumare : Module d'une fonction de transfert 06-01-20 à 10:55

Bonjour et merci de vos réponses !

Pour déduire la nature de ce filtre il faut que je calcule \mid H(jw) \mid pour
f=fe/2 et f=fe/4, Shannon est bien respecté puisque fe\geq 2f et fe\geq 4f.

Dois-je remplacer \omega Te=\frac{w}{fe}=\frac{2\pi f}{fe}=\frac{2\pi \frac{fe}{2}}{fe}=\pi ?

Merci de vos réponses

Posté par
Hirumare : Module d'une fonction de transfert 06-01-20 à 11:08

Par ailleurs je ne comprends pas dans ton développement de
(\mid H(\omega) \mid)^2=\frac{\left((1+exp(-jx))(1+exp(jx))\right)^2}{(1+0,5exp(-jx))(1+0,5exp(jx))}=\frac{\left((1+1+exp(-jx)+exp(jx))\right)^2}{(1+0,25+0,5 exp(-jx)+0,5exp(-jx))}

Il ne manque pas le e^{-jx}.e^{+jx} au numérateur et dénominateur à la fin  ?

Posté par
Hirumare : Module d'une fonction de transfert 06-01-20 à 11:09

Erreur de  ma part sa fait bien 1 je n'avais pas vue ^^'

Posté par
gts2re : Module d'une fonction de transfert 06-01-20 à 16:25

Bonjour,

Pour f=fe/2, \omega T_e vaut en effet

Posté par
malou Webmasterre : Module d'une fonction de transfert 06-01-20 à 16:36

bienvenue gts2 du côté des matheux ! le sujet étant verrouillé de l'autre côté, gts2 est venu à nous !
Bonne journée !

Posté par
gts2re : Module d'une fonction de transfert 06-01-20 à 20:26

Bonsoir,

Merci pour l'accueil.
Le filtrage numérique est un peu de la physique (filtrage), de maths (étude de suite, transformée diverses et variées), de l'informatique (algorithme associé) ...


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