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Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27

Posté par
Tonio1804
06-08-15 à 19:12

Bonjour ! J'ai un exercice que j'arrive à priori à résoudre (mais il me faudrait une confirmation) et je cherche également une autre méthode pour le résoudre !

Voilà l'énoncé :

Montrer que :
 
\frac{(a+b+c)^3}{abc} \geq 27

J'ai posé :
f(x)=\frac{(x+b+c)^3}{abc}

J'ai trouvé :
 f'(x)=\frac{(x+b+c)^2 (2x-b-c)}{x^2bc}

Donc f admet un minimum pour x = (b+c)/2
Et ce minimum est égal à :
 f(\frac{b+c}{2})=\frac{27 (b+c)^2}{4bc}

De là j'ai posé une nouvelle fonction
g(x)= \frac{27 (x+c)^2}{4xc}

J'ai dérivé :
g'(x)= \frac{27(x^2-c^2)}{4x^2c}

Et g admet un minimum pour x = c et ce minimum est égal à g(c)=27

Ainsi on prouve l'inégalité demandée !

Je me demande cependant si cette double utilisation du minimum est correcte ?

D'autre part une indication est fournie avec l'énoncé que je n'utilise qu'à moitié et qui me fait donc penser qu'il y a une autre solution sans doute plus élégante. Si vous pouviez donc me guider dans cette autre méthode ce serait super !

Voici l'indication :
On pourra utiliser les fonctions suivantes pour x un réel strictement positif :

 \\ f(x)=\frac{(x+b+c)^3}{abc}
 \\ g(x)=x+\frac{1}{x}
 \\
Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27 06-08-15 à 19:30

Il manque au moins une hypothèse sur les valeurs permises par a, b et c.

Exemple : a = 1 ; b = 1 et c = -2 ... et on n'a pas (a+b+c)²*(abc) <= 27

Je présume que a, b et c doivent être strictement positifs ... mais cela doit être précisé.

On peut le "présumer" avec l'indication finale (par le x réel strictement positif)
Mais cela doit quand même être être clairement écrit (que a, b et c sont > 0)

Posté par
alb12
re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27 06-08-15 à 19:34

salut,
à part une coquille au debut dans f(x), je pense que tout est juste.
pour coller à l'enonce, il faudrait ecrire:
f((b+c)/2)=27/4*(b/c+c/b+2)

Posté par
Tonio1804
re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27 06-08-15 à 19:35

Oui pardon je croyais l'avoir ajouté juste avant de poster le message ! (Je n'ai que mon portable à disposition pour quelques temps et donc j'ai de petits problèmes parfois )

Oui a b et c sont bien des réels strictement positifs !

Posté par
Tonio1804
re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27 06-08-15 à 19:38

Merci pour votre réponse !

Mais je ne comprends pas trop pourquoi vous parlez de "coller à l'énoncé"

Posté par
alb12
re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27 06-08-15 à 20:47

parce que b/c+c/b+2=x+1/x+2
mais ta demo est parfaite

Posté par
Tonio1804
re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27 06-08-15 à 21:11

Très bien merci !

Posté par
Glapion Moderateur
re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27 07-08-15 à 12:48

Signalons quand même que c'est une application directe du théorème qui s'appelle "Lissage vers la moyenne" et qui dit que si x1,x2,...,xn +* alors :
(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n})^n \ge x_1x_2...x_n avec égalité si et seulement si x1=x2=...=xn

(on en trouve facilement des démonstrations sur internet, je vous en donnerais une si besoin)

et donc on fait x1 = a ; x2 = b ; x3 = c et n = 3 et on tombe sur le résultat.

Dans un problème comme ça, il est plus élégant de ne pas casser la symétrie entre les 3 variables.

Posté par
Jalex
re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27 09-08-15 à 21:28

Bonsoir

Le "lissage vers la moyenne" énoncé par Glapion n'est rien d'autre que
ce que l'on appelle "l'inégalité arithmético-géométrique", si jamais...

Posté par
alainpaul
re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27 10-08-15 à 11:33

Bonjour,


Je me demande s'il est possible de construire une identité polynomiale
répondant à la question.

Un exemple:a^3+b^3+c^3=(a+b+c)\times ((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2))/2

connue sous le nom d'identité de Gauss,



Alain

Posté par
Glapion Moderateur
re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27 10-08-15 à 18:39

ha ben si tu arrives à mettre (a+b+c)3-27abc sous forme d'une somme de carrés, tu auras gagné.

(j'ai essayé mais je n'ai pas trouvé. C'est peut-être pas possible. A toi le roi du polynôme de nous le dire )

Posté par
alainpaul
re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27 10-08-15 à 19:06

Bonnes vacances à toi,


Mon idée n'est donc point si folle;tu as essayé.


QUESTION:
En cas de succès serais-je reconnu ...


Alain



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