Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27 : exercice de mathématiques de autre

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Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27
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Tonio1804  06-08-15 à 19:12
Bonjour ! J'ai un exercice que j'arrive à priori à résoudre (mais il me faudrait une confirmation) et je cherche également une autre méthode pour le résoudre ! 

Voilà l'énoncé :

Montrer que :

J'ai posé :

J'ai trouvé :

Donc f admet un minimum pour x = (b+c)/2

Et ce minimum est égal à :

De là j'ai posé une nouvelle fonction

J'ai dérivé :

Et g admet un minimum pour x = c et ce minimum est égal à g(c)=27

Ainsi on prouve l'inégalité demandée ! 

Je me demande cependant si cette double utilisation du minimum est correcte ? 

D'autre part une indication est fournie avec l'énoncé que je n'utilise qu'à moitié et qui me fait donc penser qu'il y a une autre solution sans doute plus élégante. Si vous pouviez donc me guider dans cette autre méthode ce serait super ! 

Voici l'indication :

On pourra utiliser les fonctions suivantes pour x un réel strictement positif :

Merci beaucoup pour votre aide !
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J-P re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27  06-08-15 à 19:30
Il manque au moins une hypothèse sur les valeurs permises par a, b et c.

Exemple : a = 1 ; b = 1 et c = -2 ... et on n'a pas (a+b+c)²*(abc) <= 27

Je présume que a, b et c doivent être strictement positifs ... mais cela doit être précisé.

On peut le "présumer" avec l'indication finale (par le x réel strictement positif)

Mais cela doit quand même être être clairement écrit (que a, b et c sont > 0)

 Posté par 
alb12re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27  06-08-15 à 19:34
salut,

à part une coquille au debut dans f(x), je pense que tout est juste. 

pour coller à l'enonce, il faudrait ecrire: 

f((b+c)/2)=27/4*(b/c+c/b+2)
 Posté par 
Tonio1804re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27  06-08-15 à 19:35
Oui pardon je croyais l'avoir ajouté juste avant de poster le message ! (Je n'ai que mon portable à disposition pour quelques temps et donc j'ai de petits problèmes parfois  )

Oui a b et c sont bien des réels strictement positifs ! 
 Posté par 
Tonio1804re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27  06-08-15 à 19:38
Merci pour votre réponse !

Mais je ne comprends pas trop pourquoi vous parlez de "coller à l'énoncé"
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alb12re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27  06-08-15 à 20:47
parce que b/c+c/b+2=x+1/x+2

mais ta demo est parfaite
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Tonio1804re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27  06-08-15 à 21:11
Très bien merci ! 
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Glapion re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27  07-08-15 à 12:48
Signalons quand même que c'est une application directe du théorème qui s'appelle "Lissage vers la moyenne" et qui dit que si x1,x2,...,xn +* alors :

 avec égalité si et seulement si x1=x2=...=xn

(on en trouve facilement des démonstrations sur internet, je vous en donnerais une si besoin)

et donc on fait x1 = a ; x2 = b ; x3 = c et n = 3 et on tombe sur le résultat.

Dans un problème comme ça, il est plus élégant de ne pas casser la symétrie entre les 3 variables.
 Posté par 
Jalexre : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27  09-08-15 à 21:28
Bonsoir

Le "lissage vers la moyenne" énoncé par Glapion n'est rien d'autre que

ce que l'on appelle "l'inégalité arithmético-géométrique", si jamais...
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alainpaulre : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27  10-08-15 à 11:33
Bonjour,

Je me demande s'il est possible de construire une identité polynomiale

répondant à la question.

Un exemple:

connue sous le nom d'identité de Gauss,

Alain
 Posté par 
Glapion re : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27  10-08-15 à 18:39
ha ben si tu arrives à mettre (a+b+c)3-27abc sous forme d'une somme de carrés, tu auras gagné.

(j'ai essayé mais je n'ai pas trouvé. C'est peut-être pas possible. A toi le roi du polynôme de nous le dire  )
  Posté par 
alainpaulre : Montrer que ((a+b+c)^3)/(abc)>=27  10-08-15 à 19:06
Bonnes vacances à toi,

Mon idée n'est donc point si folle;tu as essayé.

QUESTION:

En cas de succès serais-je reconnu ...

Alain