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Montrer que l'ense,ble des points est une droite

Posté par
kassiopeia 24-01-25 à 17:07

Bonjour,

j'aurais une question par rapport à l'exercice suivant:

On considère un cercle C de centre O et de rayon r dans le plan. Soit [AB] un diamètre de ce cercle.
Pour tout point Mdu plan, on définit P_{C}(M)=\vec{MA}.\vec{MB}
J'ai réussi à resoudre les exercices a),b),c), mais voilà d) qui me pose des problèmes:

Soit C' un cercle de centre O' et de rayon r' (différents de O et r), I est le milieu de [OO']. Démontrer l'ensemble des points M tels que P_{C}(M)=P_{C'}(M) est une droite. On pourra d'abord montrer que (\vec{MO})^{2}-(\vec{MO'})^{2}=2\vec{OO'}\cdot \vec{IM}


J'ai réussi aussi à montrer cette dernière égalité. Maintenant j'ai:

2\vec{OO'}\cdot \vec{IM}=-\vec{r'^2}+\vec{r}^2


Mais comment est-ce qu'on montre que cest une droite maintenant? J'i un peu honte de demander parce que je pense que j'y suis presque, mais je ne suis pas sûre à quel point je peux voir que cest une droite...

Merci en avance!

Posté par
carpediemre : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 24-01-25 à 17:31

salut

il suffit de déterminer le point H de la droite (OO') tel que 2 \vec {OO'} \cdot \vec {IM} = \bar {OO'} \cdot \bar {IM} =  r^2 - r'^2

ensuite relation de Chasles et vecteurs orthogonaux donne la droite demandée ...

Posté par
carpediemre : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 24-01-25 à 17:32

carpediem @ 24-01-2025 à 17:31

salut

il suffit de déterminer le point H de la droite (OO') tel que 2 \vec {OO'} \cdot \vec {IH} = \bar {OO'} \cdot \bar {IH} =  r^2 - r'^2

ensuite relation de Chasles et vecteurs orthogonaux donne la droite demandée ...


indice : H est le projeté orthogonal de M sur la droite (OO') ...

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 24-01-25 à 17:34

Bonjour

Vous avez sans doute vu que l'ensemble des points M tels que \vec{MA}\bullet \vec{MB} = k, \ k\in R\ est une droite perpendiculaire à (AB).

Considérez le projeté orthogonal de M sur (OO').
Vous êtes dans ce cas.

Posté par
kassiopeiare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 25-01-25 à 19:46

Merci à vous deux.

@hekla: je pensais \vec{MA}\bullet \vec{MB}=k est un cercle? Et \vec{AM}\bullet \vec{AB}=k
une droite perpendiculaire à AB... je me trompe?

J'ai essayé:

\vec{OO'}\bullet \vec{IM}=\frac{r^2-r'^2}{2}\Leftrightarrow \bar{OO'}\bullet \bar{IH}=\frac{r^2-r'^2}{2} \Leftrightarrow \bar{IH}=\frac{r^2-r'^2}{2\bar{OO'}}   (*)

donc l'ensemble des points est la droite perpendiculaire à \bar{OO'} passant parH tel que (*)

Cest correct?

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 25-01-25 à 21:59

Non, car
\vec{MA}\bullet\vec{MB}=0  est le cercle de diamètre AB

C'est ce que vous avez écrit qui est correct
Désolé

Posté par
kassiopeiare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 10:41

Pour être franche c'est ca que je comprend pas tout à fait en effet.

A partir de cette derniere équation: Quand eest-ce que je sais que c'est un cercle, quand est-ce que c'est un edroite perpendiculaire? Je ne crois pas comprendre la différence entre les deux..

Pourriez-vous m'expliquer comment distinguer les deux?

Merci en avance.

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 11:58

Bonjour

lorsque vous avez à chercher l'ensemble des points M tels que
\vec{MA}\bullet\vec{MB}=k

vous introduisez le point I, milieu de [AB] et vous montrez que

\vec{MA}\bullet\vec{MB}=IM^2-\dfrac{AB^2}{4}

Le problème revient alors à IM^2=k+\dfrac{AB}{4}
autrement dit à chercher l'ensemble des points tels que IM=constante.
Ce qui est manifestement la définition d'un cercle  :
ensemble des points équidistants d'un point fixe, le centre du cercle.

Dans le cas où vous avez  \vec{AB}\bullet\vec{MB}=k

Là, ce qui va être fixe est le projeté orthogonal de M sur (AB).
Par conséquent, l'ensemble des points M sera bien une droite
La droite perpendiculaire à (AB) passant par le projeté orthogonal

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 12:00

lire évidemment

\vec{MA}\bullet\vec{MB}=IM^2-\dfrac{AB^2}{4}

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 12:02

et par suite

IM^2=k +\dfrac{AB^2}{4}

Désolé, pour les erreurs de manipulation.

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 16:28

Un exemple :
On donne A et B 2 points distincts tels que AB=6.

Ensemble des points M tels que   \vec{MA}\bullet\vec{MB}=7

\vec{MA}\bullet\vec{MB}=IM^2-\dfrac{AB^2}{4}

IM^2=7+\dfrac{6^2}{4}=16

L'ensemble des points M est le cercle de centre I et de rayon 4.

Vous pouvez vérifier en prenant M aligné avec A et  B. Le produit scalaire vaut bien 7

Montrer que l\'ense,ble des points est une droite

Posté par
carpediemre : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 19:43

avec la figure de hekla et en notant E et F les intersections d u cercle et de la droite (AB) on en déduit que :

1/ E et F sont les solutions de l'équation \vec {MA} \cdot \vec {MB} =k   appartenant à la droite (AB) et sont évidemment symétriques par rapport à I (tout comme A et B) et donc \vec {EA} + \vec {FB} = \vec 0

2/ donc EA \times EB = k \iff EA^2 + AB \times EA - k = 0  équation du second degré qui permet de connaitre EA

3/ \vec {MA} \cdot \vec {MB} =k \iff \left( \vec {ME} + \vec {EA} \right) \cdot \left( \vec {MF} + \vec {FB} \right) = k \iff ... \iff \vec {ME} \cdot \vec {MF} = 0 en utilisant 2/ ...

Posté par
carpediemre : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 19:44

PS :  si k < 0 alors prendre EA \times EB = -k ...

Posté par
carpediemre : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 19:51

et alors E et F appartiennent au segment [AB] ...

Posté par
kassiopeiare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 29-01-25 à 09:03

Un peu en retard ma réponse, mais bon..  merci, vos explications m'ont vraiment aidé!

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 29-01-25 à 09:37

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