Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Master Maths [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Master Maths
Partager :

Montrer que l'ense,ble des points est une droite

Posté par
kassiopeia 24-01-25 à 17:07

Bonjour,

j'aurais une question par rapport à l'exercice suivant:

On considère un cercle C de centre O et de rayon r dans le plan. Soit [AB] un diamètre de ce cercle.
Pour tout point Mdu plan, on définit P_{C}(M)=\vec{MA}.\vec{MB}
J'ai réussi à resoudre les exercices a),b),c), mais voilà d) qui me pose des problèmes:

Soit C' un cercle de centre O' et de rayon r' (différents de O et r), I est le milieu de [OO']. Démontrer l'ensemble des points M tels que P_{C}(M)=P_{C'}(M) est une droite. On pourra d'abord montrer que (\vec{MO})^{2}-(\vec{MO'})^{2}=2\vec{OO'}\cdot \vec{IM}


J'ai réussi aussi à montrer cette dernière égalité. Maintenant j'ai:

2\vec{OO'}\cdot \vec{IM}=-\vec{r'^2}+\vec{r}^2


Mais comment est-ce qu'on montre que cest une droite maintenant? J'i un peu honte de demander parce que je pense que j'y suis presque, mais je ne suis pas sûre à quel point je peux voir que cest une droite...

Merci en avance!

Posté par
carpediemre : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 24-01-25 à 17:31

salut

il suffit de déterminer le point H de la droite (OO') tel que 2 \vec {OO'} \cdot \vec {IM} = \bar {OO'} \cdot \bar {IM} =  r^2 - r'^2

ensuite relation de Chasles et vecteurs orthogonaux donne la droite demandée ...

Posté par
carpediemre : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 24-01-25 à 17:32

carpediem @ 24-01-2025 à 17:31

salut

il suffit de déterminer le point H de la droite (OO') tel que 2 \vec {OO'} \cdot \vec {IH} = \bar {OO'} \cdot \bar {IH} =  r^2 - r'^2

ensuite relation de Chasles et vecteurs orthogonaux donne la droite demandée ...


indice : H est le projeté orthogonal de M sur la droite (OO') ...

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 24-01-25 à 17:34

Bonjour

Vous avez sans doute vu que l'ensemble des points M tels que \vec{MA}\bullet \vec{MB} = k, \ k\in R\ est une droite perpendiculaire à (AB).

Considérez le projeté orthogonal de M sur (OO').
Vous êtes dans ce cas.

Posté par
kassiopeiare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 25-01-25 à 19:46

Merci à vous deux.

@hekla: je pensais \vec{MA}\bullet \vec{MB}=k est un cercle? Et \vec{AM}\bullet \vec{AB}=k
une droite perpendiculaire à AB... je me trompe?

J'ai essayé:

\vec{OO'}\bullet \vec{IM}=\frac{r^2-r'^2}{2}\Leftrightarrow \bar{OO'}\bullet \bar{IH}=\frac{r^2-r'^2}{2} \Leftrightarrow \bar{IH}=\frac{r^2-r'^2}{2\bar{OO'}}   (*)

donc l'ensemble des points est la droite perpendiculaire à \bar{OO'} passant parH tel que (*)

Cest correct?

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 25-01-25 à 21:59

Non, car
\vec{MA}\bullet\vec{MB}=0  est le cercle de diamètre AB

C'est ce que vous avez écrit qui est correct
Désolé

Posté par
kassiopeiare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 10:41

Pour être franche c'est ca que je comprend pas tout à fait en effet.

A partir de cette derniere équation: Quand eest-ce que je sais que c'est un cercle, quand est-ce que c'est un edroite perpendiculaire? Je ne crois pas comprendre la différence entre les deux..

Pourriez-vous m'expliquer comment distinguer les deux?

Merci en avance.

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 11:58

Bonjour

lorsque vous avez à chercher l'ensemble des points M tels que
\vec{MA}\bullet\vec{MB}=k

vous introduisez le point I, milieu de [AB] et vous montrez que

\vec{MA}\bullet\vec{MB}=IM^2-\dfrac{AB^2}{4}

Le problème revient alors à IM^2=k+\dfrac{AB}{4}
autrement dit à chercher l'ensemble des points tels que IM=constante.
Ce qui est manifestement la définition d'un cercle  :
ensemble des points équidistants d'un point fixe, le centre du cercle.

Dans le cas où vous avez  \vec{AB}\bullet\vec{MB}=k

Là, ce qui va être fixe est le projeté orthogonal de M sur (AB).
Par conséquent, l'ensemble des points M sera bien une droite
La droite perpendiculaire à (AB) passant par le projeté orthogonal

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 12:00

lire évidemment

\vec{MA}\bullet\vec{MB}=IM^2-\dfrac{AB^2}{4}

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 12:02

et par suite

IM^2=k +\dfrac{AB^2}{4}

Désolé, pour les erreurs de manipulation.

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 16:28

Un exemple :
On donne A et B 2 points distincts tels que AB=6.

Ensemble des points M tels que   \vec{MA}\bullet\vec{MB}=7

\vec{MA}\bullet\vec{MB}=IM^2-\dfrac{AB^2}{4}

IM^2=7+\dfrac{6^2}{4}=16

L'ensemble des points M est le cercle de centre I et de rayon 4.

Vous pouvez vérifier en prenant M aligné avec A et  B. Le produit scalaire vaut bien 7

Montrer que l\'ense,ble des points est une droite

Posté par
carpediemre : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 19:43

avec la figure de hekla et en notant E et F les intersections d u cercle et de la droite (AB) on en déduit que :

1/ E et F sont les solutions de l'équation \vec {MA} \cdot \vec {MB} =k   appartenant à la droite (AB) et sont évidemment symétriques par rapport à I (tout comme A et B) et donc \vec {EA} + \vec {FB} = \vec 0

2/ donc EA \times EB = k \iff EA^2 + AB \times EA - k = 0  équation du second degré qui permet de connaitre EA

3/ \vec {MA} \cdot \vec {MB} =k \iff \left( \vec {ME} + \vec {EA} \right) \cdot \left( \vec {MF} + \vec {FB} \right) = k \iff ... \iff \vec {ME} \cdot \vec {MF} = 0 en utilisant 2/ ...

Posté par
carpediemre : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 19:44

PS :  si k < 0 alors prendre EA \times EB = -k ...

Posté par
carpediemre : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 27-01-25 à 19:51

et alors E et F appartiennent au segment [AB] ...

Posté par
kassiopeiare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 29-01-25 à 09:03

Un peu en retard ma réponse, mais bon..  merci, vos explications m'ont vraiment aidé!

Posté par
heklare : Montrer que l'ense,ble des points est une droite 29-01-25 à 09:37

Autres questions ?

De rien


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !