Salut,

Deux entiers au pif, c'est deux entiers pairs, ou deux entiers impairs, ou un pair et un impair...

soit

m et n deux entiers

hypothèse de récurrence : est un entier

initialisation : 0 + 1, 1 + 0, m + 1 (et donc n + 1) est un entier (pour tout m)

on veut le montrer au ""rang suivant""

or m + 1 + n = m + n + 1

d'après l'hypothèse de récurrence m + n est un entier a

donc m + 1 + n = m + n + 1 = a + 1

d'après l'initialisation a + 1 est un entier

donc

or l'addition est commutative donc de même

...

Bonjour,

philosophiquement cette démonstration est fausse car on n'a pas défini au préalable ce qu'est l'opération d'addition ni ce qu'est un nombre entier.

voir l'axiomatisation de l'ensemble des nombres entiers (Peano etc, pour des définitions correctes de l'ensemble des nombres entiers et de l'opération d'addition, par définition de NxN N)

par définition :

L'élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel.
Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn ou n'
Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux.
Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N.

par définition, l'addition de deux entiers est un nombre entier
et cette opération a par définition les propriétés suivantes (et rien que celles là) :
quels que soient a et b entiers, en notant n' le successeur de n

a + 0 = a
a + (b') = (a + b)'

ce que l'on peut alors chercher à démontrer (par récurrences) ce sont les propriétés de l'addition. associativité et commutativité

mathafou : je suis bien d'accord avec toi : ce que j'ai fait est tiré par les cheveux car on tourne en rond ...

j'allais d'ailleurs dire simplement : c'est la définition (de l'opération somme)

et tu as eu raison d'intervenir (ce que j'attendais quelque part) pour ne pas prendre cela comme vérité ...