salut  imod .... interessant a chercher avec un ptit bout de programme

Bonsoir,
il y a dèja tous les nombres à un chiffre et 45pour les nombre à deux chiffres.

Bonsoir,

il y en a une infinité, les entiers qui s'écrivent

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avec et

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@Jandri

Je vois bien les autres mais moins bien ton infinité

Imod

... tu as sans doute ajouté des "0" au début de l'écriture décimale et c'est mal

Imod

j'ai obtenu les valeurs suivantes :

2250 ,    2+2+5+0 = 9 et 9/4 = 2.250

18 000   ,  1 + 8 + 0 +0 +0  = 9  et 9/5= 1.8000

Effectivement je n'ai pas lu assez attentivement l'énoncé, mon "infinité" de solutions demande d'ajouter un (ou plusieurs) devant le nombre alors qu'il était bien précisé : la moyenne est égale à avec le premier chiffre du nombre.

Pour la moyenne est (un est ajouté devant).

Pour résumer les solutions trouvées :

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 45 , 1500 , 2250 , 3750 , 18000 , 11250000 .

Il y a encore à dire

Imod

Je propose 1 687 500 000 000 000
J'ai bien peur que ce soit le dernier.

Bonjour
En 6 chiffres on a 516667   --->31/6

Nous les avons tous . Il reste à voir pourquoi il n'y en a pas d'autres

@Dpi : Attention :

Imod

Comme les vrais exhibitionnistes sont cernés ,je propose de trouver
des pseudos  comme  31/6  donné plus haut.
exemple : 383 333--->23/6 3.833333

Si n est notre nombre, s la somme des chiffres, et d le nombre de chiffres, on est amené à diviser s par d.
Si l'écriture de s/d est infinie,  n n'est pas bon. Quand d est une puissance de 2, ou de 5, ou un mix de tout ça,  l'écriture de s/d est finie.  
Les solutions proposées ont effectivement 1, 2, 4,5, 8 ou 16 chiffres.
On pourrait éventuellement avoir par exemple s= un multiple de 3, et d=24, la division s/d aurait un nombre fini de décimales, mais les arguments ci-dessous continueraient de fonctionner.

Pour 32 chiffres,
Prenons un nombre de 32chiffres, calculons la somme des 32 chiffres,  et divisons le résultat par 32, on obtient un nombre avec au maximum 5 décimales.
La partie décimale peut être  par exemple 0.03125  0.21875  0.40625  etc etc
Le nombre de départ de 32 chiffres doit se finir par 26 zéros. Il a au maximum 6 chiffres non nuls. Avec un 5 en dernier, et un 2 ou un 7 en avant dernier.
La somme de ces 6 chiffres atteint difficilement 32. Si les 2 premiers chiffres sont petits, on n'atteint pas 32, et s'ils sont grands, alors ce n'est plus 32 qu'il faut atteindre, mais un nombre 2 ou 3 fois plus grand que 32  !

Ce sont des considérations de ce type qui entrent en jeu.
Certes, il faudrait une démonstration plus rigoureuse.

Oui , il y a de ça . Il faut tout de même faire attention qu'il peut y avoir des simplifications dans le rapport donnant la moyenne et que si le nombre de chiffres des solutions trouvées est un produit de puissances de 2 et 5 , ce résultat n'est pas du tout évident à priori . On remarque tout de même que le nombre de "0" à la fin des solutions a tendance à grandir assez vite .

Personnellement je suis parti de l'équation traduisant la donnée initiale pour majorer le nombre n de chiffres de l'entier en fonction du nombre k de "0" à la fin ( en plus k doit être inférieur aux 8/9 de n ) .

Imod

Je me souviens qu'à l'époque de la vitesse libre,beaucoup de conducteurs qui calculaient leur moyenne n'aimaient pas quand ça ne "tombait pas juste "
exemple  123 km en  57 minutes  (129.47....)

Ici il   les nombres de 7 chiffres ne peuvent être exhibitionnistes.
mais certains... 4428571---->4.428571. . ne sont pas mal

Pourquoi pas . On pourrait définir les entiers translucides   ( qui montrent presque tout ) :    , avec et le nombre de chiffres et la somme des chiffres de .

Leur liste risque d'être longue

En attendant il reste à prouver que nous avons bien trouvé tous les entiers exhibitionnistes .

Imod

>Imod
C'est assez amusant ,mais ils ne sont pas très nombreux et comme
les vrais il y aura une limite .
A suivre....

On peut même dire qu'ils sont rares en effet dans les nombres de 7chiffres  il n'y a que  4 428 571 qui a pour moyenne  4.428571,429
Le plus proche après lui est 4 571 429 qui a pour moyenne 4.571428.57

Soit 1/9 000 000
A suivre...

J'attends de voir pour la finitude des entiers translucides ( si c'est vrai la démonstration risque de ne pas être simple ) .

Je suis moi même un peu transparent voire invisible en ce moment mais j'essaierai de poster une démonstration pour les exhibitionnistes ce soir .

Imod  

Si est un exhibitionniste alors :

Soit le dernier chiffre non nul de et .

Choisissons ou de façon à ce que soit premier avec alors et

En divisant l'égalité précédente par

On en déduit que

On a donc

La fonction est décroissante sur et Il n'y a plus qu'à lister les entiers transparents ayant au plus   chiffres :



Imod

Dans mon bidule ,il te manque 5 pour les dernier...
1 687 500 000 000 000 ce qui n'enlève rien à ta
brillante démonstration

J'abandonne mes approchants car je n'en ai plus trouvé au delà
Ce qui voudrait dire qu'ils ne sont que 2:
383 333---->3.83333.
4 428571---->4.228571.
Ayant le denier chiffre significatif  égal.
Il n'y a qu'une poignée ayant le dernier chiffre +-1
genre  516 667---->5.16666 ou 4 571 429-->4.571428.