salut  Imod , que veut dire sont ils tous des M(n) ??  
de ce que je comprend   M(n)=(1/n) S(k) , k compris entre 1 et n

Bonjour Flight

Tu as compris la définition de M(n) , la question est : pour l'entier 50 ( par exemple ) , existe-t-il un entier n tel que M(n)=50 ?

Imod

Ah ok   je vois merci

pour n =20 on voit bien que  M(20)20
j'aurai plutot posé comme question "peut on trouver des n tel que M(n)= n "

euhh non finalement c'est pas ca  ....désolé  :D

le but est de remonter à n connaissant la valeur de M(n)  ...

Relis bien la question il y a deux entiers différents , on ne demande pas que M(20) soit égal à 20 mais qu'il existe un entier n tel que M(n)=20 .

Imod

Bonjour à tous,
La question n'est-elle pas plutôt:
Quelque-soit n, existe-t-il k tel que M(k)=n?

C'est exactement la question , merci

Après il faut la résoudre

Imod

donc pour eclaircir les choses ca revient à trouver k tel que
(1/k) S(j) = n   , avec j compris entre 1 et k

salut

déjà pour tous les chiffres on a : qui est un entier

et je subodore que les nombres triangulaires T(n) apparaissent très fortement dans les résultats

soit

alors



on cherche donc les points à coordonnées entières du cercle de centre O(45,5 ; 0,5) et d rayon   

damned il faut encore diviser par m !!!


alors

@carpediem,
Il me semble que ta définition de M(k) n'est correcte que pour k<10
M(10)=1+2+...+8+9+1 et pas 1+2+...+8+9+10

Bonjour,

Si j'ai bien compris...le contraire ne m'étonnerait pas....

 Cliquez pour afficher

exemples ,ils ne sont pas les seuls  parfois  2,3 ou 4
M (n)   n
5           18
6           38
7            58
8           78
9            98
10        298
11         498
12        698
13        898
14       1998
15       3998
16       5998
17       7998
18        9998
19        29998
20         49998

Voici un tableau de n, M(n) pour lesquels M(n) est entier, n<1001.
Si j'ai bon, on peut penser que la réponse à la question posée est oui.
Mais je vais aller plus loin...

1 1
3 2
5 3
7 4
9 5
18 5
21 5
24 5
38 6
58 7
78 8
98 9
298 10
498 11
501 11
537 11
698 12
702 12
707 12
711 12
716 12
898 13

Curiosité:
Je vois passer M(n) à M(n)+1 pour les valeurs suivantes de n:
3, 5, 7, 9,
38, 58, 78, 98,
298, 498, 698, 898,
1998, 3998, 5998, 7998, 9998
29998, 49997....
jusqu'à M(999998)=27
Il est permis de penser que ça va continuer
YAPUKA le démontrer

Et je découvre que dpi a encore été plus rapide

pour unifier les notations :

s(n) = somme des chiffes de n



est la moyenne demandée

est le n-ième nombre triangulaire  et  en particulier

sanantonio312 prenons m = 23 = 2 * 10 + 3 donc d = 2 et u = 3

alors

je compte de 0 à 9 entre 0 et 9 puis entre 10 et 19 donc 2 fois = d = 2

puis je compte les dizaines donc de 0 à 2 = 0 + 1 + 2

puis je compte les unités "restantes" de 20 à 23 donc de 0 à 3 = 0 + 1 + 2 + 3

effectivement je "mets" trompé dans le décompte de T(9)


j'espère que notre renard futé (littlefox) viendra nous pondre un script python de derrière les fagots dont il a le secret
mais qu'il nous en donnera aussi une version plus "naïve" donc compréhensible par le pékin moyen que je suis

>salut sanantonio312
je n'ai gardé que le filon 98 *mais il y a de doublons et autres...

*On doit pouvoir en tirer une loi mais je subodore que 100 par exemple doit être très grand.

Bonjor,

les valeurs trouvées par dpi sont bonnes, voir la suite A114136 de l'OEIS :

Bonsoir,
J'ai un doute sur le fait que la moyenne de la somme des chiffres ne soit pas bornée.

Doute mal venu.

Bonjour à tous

@Verdurin : quel argument proposes-tu pour justifier que la moyenne n'est pas bornée ?

Imod

LaTeX encore en panne...
Si je reprends les notations de carpediem, dès que p >= 1 et 0 <= r < 10^p.

En particulier, si m = E(log10(n)) est le plus grand entier tel que 10^m <= n, et qu'on pose alors



On remarque que

*   n divise t(n) si seulement s'il divise t(n-1 - q) + t(q) - q
*   t(n) - t(q) = (n-q) + t(n-q) - s(n-q) ne dépend que de n-q.
*   même observation pour la fonction z définie par z(x) = t(x)-x car z(n) - z(q) = t(n-q - 1) = t(n-q) - s(n-q)
*   n divise t(n) si et seulement si n divise z(n) = n(M(n)-1)

z(n) = n(M(n)-1) est toujours un entier, alors
ou bien M(n)-1 (et donc M(n)) est entier
ou bien M(n)-1 est le produit l'inverse d'un diviseur de n et d'un autre entier positif

dit autrement, dans le second cas, M(n) = 1 + k/d avec d diviseur de n et k entier

import math
from fractions import Fraction

cache_t = dict()
def t(n):
    if n < 0:
        return 0
    if n in cache_t:
        return cache_t[n]
    if n < 10:
        u = n * (n+1) >> 1
        cache_t[n] = u
        return u
    
    m = int(math.log10(n))
    M = 10**m
    u = n - M + 1 + t(n-M) + t(M-1)
    cache_t[n] = u
    return u


def M(n):
    return Fraction(t(n), n)

def valable(n):
    return n > 0 and t(n) % n == 0 

voici un bout de code en vba qui donne les memes valeur que dpi je suis allé jusqu'a k=2000 les couples obtenus sont  :  k et c/k

Sub imod()
Dim n As Double
c = 0
w = ""
For k = 1 To 2000
c = 0
   For j = 1 To k
      s = 0
         For a = 1 To Len(CStr(j))
             s = s + Val(Mid(CStr(j), a, 1))
         Next
             c = c + s
   Next
      If c Mod k = 0 Then
         w = w & Chr(10) & k & " " & c / k
      End If
Next

MsgBox w  'voir ci dessous 

End Sub

J'ai une théorie pour prouver que la recherche est infinie:

1/ on ne garde que les terminaisons 98  (cf ma liste du23 16h10)
2je la prolonge de
21   69998
22    89998
23   199998
24    699998
25    599998
26    799998
27    999998   comme l'a trouvé sanantonio312
Il suffit de confirmer la bonne version pour 28 et la raison sera trouvée

Je viens de vérifier que la bonne réponse est 28--->2 999 998
soit +2 000 000
Je présume donc les suivants:
J'espère qu'un bon programmeur (j'en connais..)..........

Tu progresses bien Dpi et à partir de ton tableau il est facile d'estimer n+2 à partir du quotient et du reste de M modulo 9 . Après il faut justifier

Imod

PS : attention , dans la légende tu as inversé n et M .

Il y a des algorithmes en O(log(n)) pour calculer M(n). Mais je ne suis pas sûr que ça aide à répondre à la question de Imod.

Le lien de l'OEIS donné par Jandri affirme que la réponse est oui, l'ensemble des M(n) est l'ensemble des naturels. Mais ne démontre rien.

Essayons de calculer M(n). Soit la somme des chiffres des nombres de 0 à n-1. avec la définition de carpediem.

On décompose n en ses chiffres:
On a ;
On a ;
On a ;
Et finalement,  .

De la on peut construire un algorithme:

def d(n):
    s = [(a * (a - 1)) // 2 for a in range(11)]
    digits = list(map(int, str(n)))[::-1]
    k = len(digits)
    pow10k = 10**k
    total = 0
    while k > 0:
        a = digits.pop()
        k -= 1
        pow10k //= 10
        n -= a * pow10k
        total += s[10] * a * k * pow10k // 10 + s[a] * pow10k + a * n

    return total

def search_int_m():
    total, n = 0, 0
    while True:
        n += 1
        total += sum(map(int, str(n)))
        if total % n == 0:
            print(n, total, total // n)

def get_n(m):
    k, a = divmod(m*2, 9)
    a += 1
    return a*10**k-2

Ah et pour répondre à dpi:

est grand mais pas tant que ça

Merci.

Comment expliquer la particularité de 14 ; 23 ; 32 ;41; 50
et cela se reproduit -il pour   59 ;68 ;etc...

14,23,32,...=9x+5 => (k, a) =(2x+1,1)

Rien de particulier sinon qu'on dépasse 9 pour a et donc k est augmenté de 1 et a=1.

Bonjour,

La démonstration de LittleFox se généralise à toute base en notant la la somme des chiffres de écrit en base et .

Pour tout entier il existe un entier tel que .

En effet, on montre que pour on a et cette quantité varie de à quand varie de à .

En base c'est très simple : .

Bon je crois qu'on a fait le tour du problème , beau travail collectif

Imod

Si la somme commence à 0 au lieu de 1 alors la moyenne est légèrement différente: M'(n) = M(n)*n/(n+1).

Dans ce cas, les n qui donnent M'(n) entiers sont les . Avec les même (a,k) que pour M(n).

C'est vrai qu'en France la coutume est démarrer les entiers naturels à 0 alors que les anglo-saxons commencent à 1 .

Imod