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moyenne des changements de couleurs
Bonsoir , je vous propose l'exercice suivant :
On dispose de n boules rouges et de n+2 boules vertes.
On aligne ces 2n+2 boules au hasard, toutes les dispositions étant équiprobables.
On appelle X le nombre de paires de boules consécutives de couleurs différentes.
Déterminer E(X) en fonction de n.
>flight
j'ai travaillé sur les n+1 paires alignées et je n'arrive pas à faire le
lien avec les formules des participants ....
>flight
j'ai travaillé sur les n+1 paires alignées et je n'arrive pas à faire le
lien avec les formules des participants ....
>flight
j'ai travaillé sur les n+1 paires alignées et je n'arrive pas à faire le
lien avec les formules des participants ....
>flight
j'ai travaillé sur les n+1 paires alignées et je n'arrive pas à faire le
lien avec les formules des participants ....
Bonjour,
Je t'explique avec n = 1, il y a donc 1 boule rouge et 3 vertes, soit 4 boules en tout
Si je numérote ces 4 boules de 1 à 4, toutes les possibilités de les aligner sont au nombre de 24, les voici :
1234
1243
1324
1342
1423
1432
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3124
3142
3214
3241
3412
3421
4123
4132
4213
4231
4312
4321
******
La boule rouge est par exemple la 1 et les vertes sont les 2, 3 et 4
On compte le nombre d'inversions de couleur dans chacun des cas ci-dessus :
Par exemple avec 1234, cela correspond en couleur à RVVV, il y a donc 1 seule inversion de couleur (entre la 1ere et la 2ème boule)
mais par exemple pour le cas 4123, cela correspond à VRVV, il y a donc 2 inversions de couleur (une entre la 1ere et la 2ème boule et une autre entre la 2ème boule et la 3 ème boule).
On fait cela pour les 24 cas dessinés au début et puis on fait la somme de toutes les inversions de couleurs qui existent : on en trouve 36
Il y a donc 36 inversions de couleur sur un total de 24 classements équiprobables possibles des boules, l'espérance sur le nombre d'inversions de couleur est donc 36/24 = 1,5
. . . qui correspond bien à n(n+2)/(n+1) avec ici n = 1
************
Si tu comprends où ton raisonnement est différent de ce qui précède pour ce cas simple (n = 1, soit 4 boules), tu arriveras à l'adapter pour le cas général avec n quelconque.
Tu as certainement une tentative de piratage sur ton ordi car mon
tableau apparait 3 fois....
Je donnerai toute à l'heure mon interprétation.
Voici mon approche:
pour n=1 ---1+3=4
j'ai pris une approche binaire.
*Tout d'abord je traite les 4 positions par paires;
abcd --->ab et cd car bc est une paire à cheval
* Ensuite je dis a=1 et b,c,d=0
j'élimine toutes les lignes qui contiennent + de un 1.
ce qui ne me donne que 4 paires différentes .
J'ai fait de même jusqu'à n=6
>candide2
Mon approche est plus concrète car elle correspond à la réalité.
En effet ,la tienne compte par exemple 1 2 3 4 , 1 243 , 1324,1342
1423 ;1 432
alors qu'il s'agit de la même situation physique .
Par ailleurs si flight parle de paires successives ,j'ai expliqué
ma vision* ,si il s'agit de paires " à cheval",je veux bien faire une autre version en ce sens peu naturel.
*Dans abcd je ne vois que deux paires ab et cd et non bc
Voici mon approche:
pour n=1 ---1+3=4
j'ai pris une approche binaire.
*Tout d'abord je traite les 4 positions par paires;
abcd --->ab et cd car bc est une paire à cheval
* Ensuite je dis a=1 et b,c,d=0
j'élimine toutes les lignes qui contiennent + de un 1.
ce qui ne me donne que 4 paires différentes .
J'ai fait de même jusqu'à n=6
Bonjour,
Le soucis est ici :
A partir de :
"On aligne ces 2n+2 boules au hasard, toutes les dispositions étant équiprobables.
On appelle X le nombre de paires de boules consécutives de couleurs différentes. "
il FAUT comprendre ceci :
Si on a 4 boules, soit abcd
On considère toutes les possibilités de 2 boules consécutives, soit :
ab , bc, cd
ab est bien une paire de boules consécutives
bc est bien une paire de boules consécutives
cd est bien une paire de boules consécutives
Toi, tu ne considères dans ce cas que ab , cd
-----
Il y a confusion entre :
"Paires consécutives de boules" (qui sont alors ab et cd)
et
"Paires de boules consécutives" (qui sont alors ab, bc et cd)
Je veux bien considérer que dans 4 boules ,il a 3 paires 
tu expliqueras cela à un bouliste 
Il n'empêche que dans ta version les boules n'étant pas numérotteés
1234 1243 1324 1342 1423 et 1432 c'est pareil RVVV
Je veux bien considérer que dans 4 boules ,il a 3 paires
tu expliqueras cela à un bouliste
Il n'empêche que dans ta version les boules n'étant pas numérotteés
1234 1243 1324 1342 1423 et 1432 c'est pareil RVVV
"Il n'empêche que dans ta version les boules n'étant pas numéroteés"
Cela ne change rien à l'affaire.
Les boules sont physiquement existantes, il y a 2n+1 boules disponibles et on les dispose à la queue leu-leu au hasard sur une table.
C'est comme si on tirait une par une les boules dans un sac et qu'on les pose à la queue leu leu sur une table, c'est seulement après avoir fait cela qu'on regarde les boules de couleurs différentes qui sont voisines.
Et les possibilités de tirages que j'ai noté 1234 1243 1324 1342 1423 et 1432 sont bien 6 tirages différents qui ont tous un même résultat de couleur RVVV
RVVV est obtenu par 6 tirages différents et donne pour chacun 1 changement de couleur
VRVV est obtenu par 6 tirages différents et donne pour chacun 2 changement de couleur
Les tirages qui donnent 1 changement de couleur, soit :
RVVV et VVVR sont au nombre de 6*2 = 12 et donc correspondent au total à 12*1 = 12 changements de couleur
Les tirages qui donnent 2 changements de couleur, soit :
VRVV , VVRV sont au nombres de 6*2 = 12 et donc correspondent au total à 12*2 = 24 changements de couleur
Il y a donc 12+12=24 tirages possibles équiprobables qui correspondent au total à 12+24 = 36 changements de de couleur.
Soit donc une espérance du nombre de changements de couleur E = 36/24 = 1,5
*****
Pourquoi numéroter les boules pour réfléchir, même si elles ne le sont pas physiquement ?
Parce que cela permet de distinguer les tirages différents qui ont une même issue et ainsi pouvoir les comptabiliser.
1234 1243 1324 1342 1423 et 1432 permet de savoir qu'il y a 6 tirages possibles pour la même issue RVVV qui donne 1 seul changement de couleur.
Bonjour,
les nombres de boules proposés par flight n'apportant pas de simplification je généralise le problème à boules de la première couleur et
de la seconde. Si on aligne au hasard les
boules l'espérance du nombre de changement de couleur
est égale à :
Cliquez pour afficherIl y a une démonstration courte :
Cliquez pour afficherOn peut même généraliser à
L'espérance du nombre de changements de couleur vaut :
Cliquez pour afficher
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