Mh, désolé, j'avais l'habitude d'un expresso avec des énigmes, visiblement j'aurais du mettre ça dans détente.

Bonjour Otto, je n'ai pas voulu le faire changer de couleur hier, mais en fait j'ai du mal à comprendre l'énoncé!

Que veux-tu dire par le max de la moyenne géométrique de la distance entre n points? Mes diiférentes interprétations mènent toutes à des réponses triviales!

Bonjour Camelia,
l'idée est la suivante,
on prend 2 points x et y, on regarde leur distance et on maximise suivant x,y dans K -> 2-diametre (diametre "classique").

On prend 3 points, x,y,z, on regarde le produit |x-y|.|x-z|.|y-z|, on en prend la racine 3e, et on maximise cette quantité suivant x,y,z dans K, ca donne le 3-diamètre.

On prend 4 points, x,y,z,t on regarde le produit |x-y|.|x-z|.|x-t|.|y-z|.|y-t|.|z-t|, on en prend la racine 6e, et on maximise cette quantité suivant x,y,z dans K, ca donne le 4-diamètre.

On prend n points x_1,...,x_n on en fait tous les produits 2 à 2, on va trouver p facons de faire des produits 2 à 2 (avec p=n(n-1)/2 si je ne me trompe pas), on prend la racine p-ième du produit, ca donne une quantité qui dépend de x_1,...,x_n, et on maximise cette quantité suivant x_1,...,x_n dans K, ca donne le n-diametre.

En fait, on peut voir ca comme étant la racine n(n-1)/2 ieme du déterminant de Vandermonde associée à (x_1,x_2,...,x_n), que l'on maximise ensuite suivant les points x_1,...,x_n. C'est plus rapide de le définir ainsi, mais on voit moins l'idée géométrique derrière les maximisations.

J'espère que c'est plus clair.
La réponse est non triviale dans le cas général.

Merci, je sais au moins que regarder!

Bon, pour qu'il ne coule pas! En effet, c'est loin d'être trivial! Pour l'instant j'ai du mal à "intuiter" la chose... Alors quelques trivialités pour entretenir la discussion:

Si K est compact, est atteint. Dans le cas de D c'est probablement atteint pour le polygône régulier à n côtés, mais je n'ai ni fini les calculs, ni vraiment prouvé que c'est le cas.

A ma grande surprise la connexité joue un rôle. Pour [0,1] et [0,1/3][1/3,1] qui ont le même diamètre, les ₂ ne sont pas les mêmes.

Pour la question subsidiaire, je dis peut-être des bêtises, mais là, pour le coup, ça me parait évident. Ca m'a l'air d'être invariant par translation et comme c'est atteint, , pour tout n, non?

Bonjour,
merci de participer un peu .

Effectivement c'est relativement évident pour l'invariance par translation et pour le comportement sous dilatation.

Effectivement une fois encore, la connexité joue un rôle. D'ailleurs, un ensemble E vérifiant C(E)=0 est totalement disconnexe (i.e. ses composantes connexes sont des singletons).

D'une façon générale, j'ai dit que l'on pouvait considérer les n-diamètre d'un compact dès que l'on avait une distance d. Dans le cas de la pseudo-distance hyperbolique, C est ce que l'on appelle la capacité hyperbolique. Dans le cas de la distance euclidienne, C est ce que l'on appelle la capacité logarithmique.
Dans le cas particulier des ensembles E connexes, la capacité logarithmique coïncide avec la capacité analytique. Ces 3 notions sont très importantes en analyse complexe. Notamment, une fonction holomorphe f bornée sur est constante si et seulement sa capacité analytique est nulle.

D'une facon générale, la capacité logarithmique évalue en quelque sorte à quel point le compact E est pret à recevoir des charges éléctriques.

La capacité hyperbolique permet de donner une caractérisation des domaines doublement connexes en ce sens que si D est le disque unité ouvert et K un ensemble relativement compact dans D, alors D\K est biholomorphe à l'anneau D\rD (Disque unité privé d'un petit disque de rayon r) si et seulement r=C(K) où C est la capacité hyperbolique.

Ca explique intuitivement pourquoi la fonction C se comporte moins bien qu'on l'imaginerait au premier abord.

Bref, on peut trouver beaucoup d'applications en analyse harmonique, en analyse complexe et en physique à ces fonctions la. C'est la raison pour laquelle je m'intéresse particulièrement à ce genre de questions.

Pour finir sur une propriété intéressante de la capacité logarithmique de K(c'est à dire la limite des n-diametres euclidiens de K), il se trouve qu'elle n'est pas sous additive, mais pire encore, elle n'est pas sous additive, même à constante multiplicative près. Ca rend cette fonction relativement difficile à appréhender.

Comme je l'ai dit, je ne connais pas de façon directe de calculer la limite des n-diametres de [a,b] (ce qui ne veut pas dire que c'est impossible), alors ne te casse pas trop la tête si tu n'y arrives pas Camelia, je ne veux pas te faire perdre ton temps

Impressionnant! Je me doute que compte tenu de l'importance de la chose, les résultats faciles ont sûrement été trouvés. Néanmoins, moi j'aime bien m'amuser avec une nouvelle (pour moi) notion, et il arrive qu'un point de vue "candide" soit utile même au spécialistes! Je continuerai donc à jouer un peu avec...

Bonjour,
oui je l'ai posté ici un peu pour ça

Je ne veux juste pas faire perdre trop de temps à ceux qui chercheraient "pour rien".

Je voulais faire remarquer de par mes question que les n diametres d'un compact K constituent une suite positive décroissante, donc convergente, ce qui permet de définir pour n'importe quel compact le diametre transfini que j'ai également appelé capacité (en fait les deux notions sont définies de facon indépendantes mais un théorème de Sego affirme qu'elles sont égales, définir la capacité autrement serait trop compliqué).


A bientot.

Salut otto

En fait je n'ai même pas réussi à calculer ce truc pour le disque D. Je tombe toujours sur des machins très indéterminés! Si tu as un moment, peux-tu mettre la correction?

Salut Camelia,
désolé du retard ça fait un moment que je ne viens plus.
J'essaierais de poster ça quand j'aurais un moment.

Salut,
alors voici une piste:

Il n'est pas difficile de voir que si on appelle Vn le vecteur (1,x_n,x_n^2,x_n^3,...,x_n^(n-1), le n diamètre de D, disons nous est donné par le déterminant de vandermonde de (V1,...,Vn)^(n(n-1))/2, c'est juste un jeu de réécriture de la définition du n-diamètre.

De plus, on peut appliquer l'inégalité de Hadamard (j'avoue qu'il faut y penser ...) qui dit que le determinant de vandermonde d'une famille (v1,..vn) est plus petit en module, que le produit des normes v1v2v3...vn.

On trouve donc facilement l'inégalité supérieure

.
A partir de la, je pense que c'est facile de conclure.

Oups, petit bug, désolé.


Voila .

Merci otto je vais cogiter...

Je suis tombé hier sur cet article de science et vie. Il vaut ce qu'il vaut mais c'est mieux que rien.

http://www.math.vanderbilt.edu/~esaff/Pointillisme.pdf