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Niveau Master Maths
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Nombre complexe affixe de point

Posté par
jean469 26-03-23 à 19:04


Bonjour à tous,, j'envoi ce message car j'ai du mal a commencer cet exercice que voici :

Déterminer les nombres complexes z\neq 0  tels que les points d'affixes
  z   ;   1/z   ; (1 -z)   soient sur un même cercle de centre O.

j'ai essayé de schématisé la situation mais je pense que mon schéma n'est pas bon
je pensais utiliser le théorème de Pythagore.

Serait-il possible que quelqu'un le corrige svp?

Nombre complexe affixe de point

Posté par
lakere : Nombre complexe affixe de point 26-03-23 à 19:31

Bonjour,
Une égalité de modules peut-être ?

Posté par
verdurinre : Nombre complexe affixe de point 26-03-23 à 19:32

Bonsoir,
le triangle (ABC) ressemble bien à celui que tu as tracé, mais la position des axes réel et imaginaire n'est pas habituelle.

La première chose a faire est sans doute de déterminer le rayon du cercle en utilisant \lvert z\rvert=\left \lvert \frac1z\right\rvert=\frac1{\lvert z\rvert}.

Ensuite tu peux démontrer que le triangle est rectangle en A.

Ps : ce n'est pas vraiment du niveau master en maths.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe affixe de point 26-03-23 à 21:20

Bonjour,
@jean469,
Ton profil indique un niveau terminale alors que tu postes dans d'autres niveaux.
Qu'en est-il ?

Posté par
jean469re : Nombre complexe affixe de point 26-03-23 à 23:40

verdurin @ 26-03-2023 à 19:32

Bonsoir,
le triangle (ABC) ressemble bien à celui que tu as tracé, mais la position des axes réel et imaginaire n'est pas habituelle.

La première chose a faire est sans doute de déterminer le rayon du cercle en utilisant \lvert z\rvert=\left \lvert \frac1z\right\rvert=\frac1{\lvert z\rvert}.

Ensuite tu peux démontrer que le triangle est rectangle en A.

Ps : ce n'est pas vraiment du niveau master en maths.

Bonsoir monsieur,
Ok je vais déterminer le rayon du cercle, je vous remercie pour votre aide.
Je pense que j'aurai dû placer les points sur un graphique plus simplement.
Ensuite concernant l'exercice c'est un exercice de Master 1 enseignement des mathématiques, ce qui veut dire que ce sont des maths "simplifié" par rapport au maths de M1 habituelle.
Le premier semestre nous avons revu des cours de Terminal experte, la congruence, etc...
Le second semestre nous voyons les complexe, les involutions, les polynômes etc...Ce qui semble se rapprocher petit à petit du "vrai programme de M1".
En M2 nous feront des maths pure et dure je suppose.

Posté par
jean469re : Nombre complexe affixe de point 26-03-23 à 23:44

Sylvieg @ 26-03-2023 à 21:20

Bonjour,
@jean469,
Ton profil indique un niveau terminale alors que tu postes dans d'autres niveaux.
Qu'en est-il ?

Bonjour Madame, je suis désolé que mon profil vous laisse perplexe, à vrai dire moi même je ne sais pas pourquoi c''était écrit terminal.
En fait je suis en M1 Maths enseignement.
Ensuite concernant l'exercice c'est un exercice de Master 1 enseignement des mathématiques, ce qui veut dire que ce sont des maths "simplifié" par rapport au maths de M1 habituelle.
Le premier semestre nous avons revu des cours de Terminal experte, la congruence, etc...
Le second semestre nous voyons les complexe, les involutions, les polynômes,les matrices  etc...Ce qui semble se rapprocher petit à petit du "vrai programme de M1" je pense.
En M2 nous feront des maths pure et dure je suppose.(ou des maths qui se rapproche du vrai niveau M2).
Enfin ceci n'est qu'une partie des cours et exo que je vois, la partie analyse et constitué de cours et d'exo qui sont bien des cours de Master ça ne fais aucun doute.

Posté par
verdurinre : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 00:00

C'est un exercice que j'aurai pus donner il y a 10 ans en terminale STL.
C'était une très bonne classe et je pense que j'aurais eu au moins quatre réponses justes en moins d'une demi-heure.
Sinon c'est effectivement des maths pures et dures mais quand même du niveau terminale.

Pour continuer l'exercice, une fois déterminé le rayon du cercle, il est effectivement possible de montrer que BC est un diamètre puis d'en déduire une équation du second degré dont z est solution.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 08:10

Bonjour,
le point O est-il l'origine du repère ?
Si oui, une fois démontré que |z| = 1, on peut utiliser une forme exponentielle de z.
Par ailleurs, je ne trouve pas un triangle rectangle en A.

Posté par
verdurinre : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 12:00

Sylvieg a raison et j'ai tort.
J'ai pris z-1 à la place de 1-z ( sans doute pour avoir directement le triangle rectangle )

Posté par
mathafou Moderateurre : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 12:32

Bonjour à tous,

moi j'ai des doutes sur l'énoncé
avec 1-z c'est impossible
c'est OK avec z-1 ...

Posté par
lakere : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 12:56

Bonjour,

C'est moi qui suis à l'ouest ou bien ?

Citation :
Une égalité de modules peut-être ?


Nombre complexe affixe de point

Posté par
GBZMre : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 12:57

C'est tout à fait possible avec 1-z, et il y a deux possibilités pour z.

Posté par
lakere : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 13:11

Et que ce soit z-1 ou 1-z, les deux solutions sont les mêmes.
La figure était faite depuis 19h31 hier puis j'avais laissé tomber ...

Posté par
mathafou Moderateurre : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 13:56

si on considère comme "solution" un triangle dégénéré dont deux sommets sont confondus , Oui ...

Nombre complexe affixe de point

Posté par
jean469re : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 13:59

Waw merci beaucoup pour votre aide, je referai l'exercice en prenant en compte tous ce que vous avez dit.
Ils sont top vos schémas !!!

Posté par
jean469re : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 14:02

mathafou @ 27-03-2023 à 13:56

si on considère comme "solution" un triangle dégénéré dont deux sommets sont confondus , Oui ...

Nombre complexe affixe de point

Impression je vais faire des recherches sur les triangles dégénéré et les lieux géométriques.
Ici nous avons un triangle qui se "déplace" sur deux cercles on dirait

Posté par
lakere : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 14:04

Bonjour mathafou,
Je rappelle la question :

  

Citation :
Déterminer les nombres complexes z\neq 0  tels que les points d'affixes
  z   ;   1/z   ; (1 -z)   soient sur un même cercle de centre O.


Il n'est pas question de triangles dégénérés ou pas.
Il n'est pas stipulé non plus que les trois complexes doivent être deux à deux distincts.

Posté par
mathafou Moderateurre : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 14:11

ma figure est obtenue à partir du lieu de z tel que |z| = |1/z|, (distance à O des deux sommets égales)

z étant un point variable du lieu, je (m'enfin Geogebra) calcule et affiche les points 1/z et 1-z
le point 1/z est par construction sur le même lieu que z
le point 1-z se déplace alors sur le cercle en pointillé (symétrique du lieu de z par rapport au point 1/2, car z + (1-z) = 1)
les solutions sont alors lorsque ce point est aussi sur le même cercle que les deux autres.

Posté par
mathafou Moderateurre : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 14:14


Citation :
Il n'est pas question de triangles

oui, OK tu as raison
je me suis laissé entrainer par les triangles cités dans les commentaires ultérieurs...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 17:22

jean469 @ 27-03-2023 à 13:59

Waw merci beaucoup pour votre aide, je referai l'exercice en prenant en compte tous ce que vous avez dit.
Ils sont top vos schémas !!!
@jean469,
Ne prends pas en compte tout ce qui a été dit !
Il y a eu des erreurs. Certaines suite à ta figure avec un angle droit en A.
Deux pistes :
Celle de lake qui traduit géométriquement \; |z| = |1-z| .
La mienne avec z sous forme exponentielle.
Pour les deux, je conseille de commencer par démontrer \; |z| = 1 .

Posté par
jean469re : Nombre complexe affixe de point 27-03-23 à 22:25

* Modération > Citation inutile effacée. *

D'accord merci, je vous ai induit en erreur aussi sorry.
Je vais exploité les deux piste alors!

Posté par
jean469re : Nombre complexe affixe de point 28-03-23 à 18:44

Bonjour à tous, en faisant des recherche sur le net, j'ai trouvé des vidéo en rapport avec l'exercice, ce qui m'aidera à le résoudre.
J'ai aussi trouvé un corrigé très similaire(je crois que c'est le même exo mais pas sûr ) c'est le numéro 23.

https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebre/complexe&type=fexo

Posté par
lakere : Nombre complexe affixe de point 28-03-23 à 20:21

Bonsoir jean469,
Je constate que tu vas à droite à gauche chercher des  réponses.
De mon point de vue, ce n'est pas la meilleure manière de réagir.
Tu as ici même tous les éléments pour conclure.
Je résume :

Citation :
Déterminer les nombres complexes z\neq 0  tels que les points d'affixes
  z   ;   1/z   ; (1 -z)   soient sur un même cercle de centre O.


Autrement dit, |z|=\left|\dfrac{1}{z}\right|=|1-z|
qui peut s'écrire sous la forme du système :

\begin{cases}|z|=\left|\dfrac{1}{z}\right|\\|z|=|1-z|\end{cases}
A partir de là, Sylvieg a quasiment tout dit :

  De la première équation, il faut déduire que |z|=1 (pas difficile) donc qu'il existe un réel \theta de l'intervalle [0,2\pi[ tel que z=e^{i\theta}
La seconde équation donne |1-e^{i\theta}|=1 qu'il faut résoudre (avec \theta pour inconnue)
Ce n'est toujours pas insurmontable...

Posté par
jean469re : Nombre complexe affixe de point 28-03-23 à 22:46

* Modération > Citation inutile effacée. *

Merci pour ton aide lake et oui mon attitude n'est pas la meilleur en effet, mais mis à part le corrigé, j'ai aussi chercherdu cours mm basique.
J'ai presque tout compris grâce à toi et Sylvie, mais je ne voyais pas trop le lien entre l'égalité des module et le fameux cercle.
j'ai trouvé cette propriété : " Ainsi, le centre O du cercle cherché doit être à l?intersection de la médiatrice de [AB] et celle de [BC], ce qui donne OA = OB = OC et donc O est aussi sur la médiatrice de [AC].
Et je pense que OA c'est le module de z, OB c'est Zb-Z0 = module de Zb = module de 1/z etc...
Parfois ce sont des connaissance basique qui débloqué une problème

Posté par
lakere : Nombre complexe affixe de point 28-03-23 à 23:51

Bonsoir,
Vu ce que tu postes, il me semble que tu es très léger sur ce chapitre.
Le meilleur conseil que je peux te donner : potasser, par exemple ici : [lien], (voir la rubrique nombres complexes) avant de t'attaquer à des exercices que manifestement tu ne domines pas.

Posté par
mathafou Moderateurre : Nombre complexe affixe de point 29-03-23 à 00:17

cours de 6ème les bases de la géométrie :

Un cercle de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M du plan situé à la distance R de O.

les médiatrices n'ont rien à faire là dedans.
la définition générale de ce qu'est un cercle, oui.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe affixe de point 29-03-23 à 08:43

Bonjour,
@mathafou,
Pourquoi jeter à la poubelle toutes les médiatrices ?
Il y en a une qui a à faire là dedans.

@jean469,

Citation :
La seconde équation donne |1-e^{i\theta}|=1 qu'il faut résoudre (avec \theta pour inconnue)
Pour la seconde équation, on peut aussi l'écrire \; |z| = |z-1| \; puis utiliser l'interprétation géométrique du module de zB-zA. C'est plus simple.

@tous les deux,
Voir la figure de lake le 27 à 12h56.

Posté par
mathafou Moderateurre : Nombre complexe affixe de point 29-03-23 à 09:43

médiatrices
je soulignais en fait la logique déviante de :

Citation :
le centre O du cercle cherché doit être à l'intersection de la médiatrice de [AB] et celle de [BC], ce qui donne OA = OB = OC

ce n'est pas parce que c'est l'intersection des médiatrices que par conséquent OA=OB=OC

c'est le contraire
c'est parce que OA=OB=OC (définition d'un cercle) que par conséquent le centre est sur les médiatrices.

Posté par
mathafou Moderateurre : Nombre complexe affixe de point 29-03-23 à 10:53

PS : d'autant plus que la médiatrice qui peut servir ici n'a rien à voir avec les médiatrices d'un triangle ABC qui n'existe même pas !
(relire ce que disait lake le 27-03-23 à 14:04)
et qui ne passe même pas par le centre O !
donc je persiste : aucun lien entre le centre et des médiatrices ici.

Posté par
jean469re : Nombre complexe affixe de point 29-03-23 à 14:55

Merci pour votre aide, je vais continuer l'exo sur un papier, pas sûr que je vais vous embêter encore, je vais revoir mes cours, merci lake

Posté par
Razesre : Nombre complexe affixe de point 02-04-23 à 23:48

Bonsoir,

Tu peux aussi résoudre par calcul complexe.
Les points d'affixes  z, \dfrac{1}{z},1-z sont sur un même cercle de centre O.  Ce qui se traduit par:

\left|z \right|= \left|\dfrac{1}{z} \right|=\left|1-z \right| \Leftrightarrow \begin{cases} \left|z \right| ^{2}=1 \\ \left|z \right| = \left|1-z \right|  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z\overline{z}=1 \\ z\overline{z} =  (1-z)\overline{(1-z)}  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z\overline{z}=1 \\ z\overline{z} = 1-(z+\overline{z})+z\overline{z} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} z\overline{z}=1 \\ z+\overline{z}=1 \end{cases}

Donc z est solution de l'équation dans  \mathbb{C}: Z^2-Z+1=0 facile à résoudre.

Posté par
Razesre : Nombre complexe affixe de point 02-04-23 à 23:52

Ou passer par la détermination de l'argument comme cela avait été signalé plutôt

z=\rho e^{i\theta }\\ \\ z\overline{z}=1 \Leftrightarrow \rho =1\\ \\ z+\overline{z}=1\Rightarrow e^{i\theta }+e^{-i\theta }=1\Leftrightarrow 2\cos \theta =1.

Posté par
carpediemre : Nombre complexe affixe de point 03-04-23 à 17:03

ouais tout simplement :  z + \bar z = 1 \iff 2 Re(z) = 1 \iff ...


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