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Ma progression :

(2²ⁿ⁺² + 1) mod (2²ⁿ+1) = 2²ⁿ - 2

et (2²ⁿ + 1) mod (2²ⁿ - 2) = 3

Je me suis arrêté là. Faut-il que je creuse ?

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On ne perd rien à supposer que n<m. On pose alors que a=2^m et b=2^n et k tel que a=kb.
On écrit alors que 2^a+1=(2^b+1-1)^k+1.
On développe avec Sr Newton et on remarque qu'on a: 2^a+1=d(2^b+1)+2 avec d un certain entier naturel. (Flemme de tout détailler).
D'où il vient que g=pgcd(F_m,F_n) divise 2. Comme les F_i sont impairs on en déduit que g=1.

Au passage, on remarque qu'on retrouve que l'ensemble des nombres premiers est infini...

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le nombre inférieur de 2 à un nombre de Fermat (2^{2^k}-1) est le produit des nombres de Fermat qui lui sont inférieurs

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Fn+1 = 2^[2^(k+1)]+1
Fn+1 = [2^(2^k)]²+1

Si X = 2^(2^k), donc Fn = X+1, et Fn+1 = X²+1
soit d un diviseur de Fn, donc d | X + 1, donc d| X²+2X+1 - 2(X+1)
donc d|X²-1
si d est un diviseur commun à Fn et Fn+1, d | X²+1-(X²-1)
d|2
Comme Fn et Fn+1 sont impairs, d = 1.
Je crois pas m'être trompé!