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Nombre de quadrillages

Posté par
Imod
26-10-20 à 11:23

Bonjour à tous

Une question que je me suis posé suite à Quadrillages superposés

On se donne une paire de points A et B distants d'une longueur qui est la racine carrée d'un entier .

Combien peut-on construire de quadrillages orthonormés dont A et B sont des nœuds ?

Imod

PS : Sans blankés please

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombre de quadrillages 26-10-20 à 14:15

Bonjour,

c'est pourtant pas Noël !

(la solution a été donnée par Fermat dans une lettre daté de 25 décembre 1640)

si AB = \sqrt{n} il s'agit de déterminer le nombre de façons de décomposer n en somme de deux carrés
n = x² + y², x, y entiers (dans )
ce qui fait précisément l'objet de ce "Théorème de Noël".

on doit passer par la décomposition de n en facteurs premiers et séparer ceux qui sont de la forme 4k+1 et ceux de la forme 4k+3
si ces derniers ont des exposants impairs, c'est impossible.

...

Posté par
Imod
re : Nombre de quadrillages 26-10-20 à 18:36

Bonjour Mathafou

J'ai redécouvert ce résultat récemment , on peut même donner aisément le nombre de décompositions possibles

Il ne faut tout de même pas oublier le cas où AB est entier car alors [AB] peut être porté par une ligne du quadrillage .

Imod

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