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Nombre dérivé, justification sans calcul
Bonsoir à tous 
Ceci est un petit "test" pour les premiéres et términales sur la notion de dérivée.
J'ai vu ça dans un de mes livres et je dois vous avouer que sur le coup la solution ne m'est pas apparue comme évidente bien que finalement elle l'était...
La question est :
Déterminer sans calcul le nombre dérivé en 0 de la fonction suivante :
Je voudrais voir ceux qui ont le reflexe direct et ceux qui ne l'ont pas (moi en l'occurence 
)
Il est sous-entendu par " sans calcul " qu'il ne faut pas passer par un taux de variation ou calculer l'image de la dérivée en -2
Si vous savez la réponse, pour ne pas gacher l'effet de recherche (qui n'existe peut être pas, tout le monde va peut être le voir directement et je vais passer pour un naze 
), vous pouvez blanquer la solution.
Merci pour votre participation
Jord
Je précise quand même : la réponse n'est pas graphique, donc les petits malins qui voulaient calculer le coefficient de la tangente, ce n'est pas la méthode recherchée
bonsoir NM
serait-ce lié au fait que pour les petits angles tanx=x et les conséquences en découlent ... ?
Philoux
hum non pas vraiment car même si tu dis que au voisinage de 0 tu auras "simplifié" la fonction mais ça ne te permettra pas directement de conclure sur le nombre dérivé.
je me demandais justement si cette façon de faire était acceptable
si autour de zéro tanx # x, au voisinage de zéro f(x) # 1-2x+x² dont la dérivée vaut "sans calcul" f'(x) # 2x-2 et dont f'(0) # -2
J'attends ta solution impatiemment...
Philoux
hum oui mais bon, même si la dérivée de f sous sa forme polynômiale te parait évidente, elle nécessite un calcul court de tête, la solution n'est pas celle la.
Et puis surtout, les équivalences ne sont pas au programme de lycée donc tan(x)=x au voisinage de 0 est à exclure
tout à fait, c'est pour cette raison que j'ai mis les guillemets à "sans calcul"
Cependant, sans connaître la dérivée de tan(x) (elle est fréquemment demandée sur le forum), c'est ainsi que je l'aurais faite de tête...
Philoux
alors, cette soluce ?
Et puis surtout, les équivalences ne sont pas au programme de lycée donc tan(x)=x au voisinage de 0 est à exclure
il me semble l'avoir vu utilisée pour des calculs de sinx/x et tanx/x ?
Philoux
Non je suis formel c'est bien hors programme.
"sans connaître la dérivée de tan(x)"
Allons ... la dérivée de tan et non de tan(x)
J'attends un peu pour la soluce voir si d'autres personnes ont une idée. Un conseil, faites dans la simplicité
j'ai peur qu'il y ait un malentendu : j'utilise (uv)' et je conclus immédiatement sans avoir à calculer v', mais je ne pense pas que ce soit la clé attendue.
Vous ne voyez pas ? Bon pour donner le dernier indice qui va simplifier vos recherche. On apprend aux élèves de premiéres 3 "formules" pour calculer le nombre dérivé :
Celle avec (f(a+h)-f(a))/h, celle avec (f(x)-f(a))/(x-a) et une derniére qui nous permet de conclure directement ici.
Vous voyez clair maintenant ?
Voila, c'est bien ça littleguy
On remarque que :
or
et de plus f(0)=1
Ainsi, on peut écrire :
avec
donc finalement par définition :
Il fallait le voir ...
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