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2004

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On part de 20 : il dépasse de 9 et de 20 des multiples de 11.
Chaque fois qu'on ajoute 31, ce dépassement diminue de 2; il faut donc choisir le dépassement initialement pair. Pour le réduire à 2, il faut ajoute neuf fois 31, ce qui amène à 299.
299 dépasse de 10 un multiple de 17. Chaque fois qu'on ajoute 31*11 (341) on augmente ce dépassement de 1, tout en préservant les restes de la division par 31 et par 11. Pour arriver à 15, il faut ajouter cinq fois 341.
Le nombre est 299 + 341*5 = 2004.

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L' énoncé donne : (k,i,j) dans N³ tel que :
n=11k+2
n=17i+15
n=31j+30

Par combinaison linéaire, on a :
17i+15=31j+20 <==> 17i-31j = 5
17i+15=11k+2 <==> -17i+11k = 13
n=17i+15

(11,17,31) premiers entres eux. Donc, l'algorithme d'Euclide étendu nous donne :

17i-31j = 5 <==> i=55 et j=30
-17i+11k = 13 <==> i=-26 et k=-39.

Seul le premiers couple est exploitable et nous donne un n=950. Ce nombre ne marche pas pour la dernière condition. Or, on sait que le reste ne change pas pour aucune des deux équations si l'on ajoute le PPCM(17,31) = 17*31=527. Donc, on doit résoudre : 950-2+527a = 11k avec a dans [|-1,7|]. Vu le domaine considéré, on peut procéder par taton et l'on trouve que la seule solution est pour n=2004

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Grace a un programme maple tout simple, je trouve 2004. Voici le programme Maple:
programme := proc ()
reponse := [0];
for i to 5000 do
if `mod`(i, 11) = 2 and `mod`(i, 17) = 15 and `mod`(i, 31) = 20
then reponse := [op(reponse), i]
end if
end do;
return reponse
end proc
Il me renvoit la liste [0,2004]. Donc, ca assure l'unicité de la solution..
Pourquoi aller chercher gauss?
(Humour)

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@rdces :
Mouais, c'est pas drôle comme ça...Mais vive la force brute^^.
Et tu devrais essayer XCAS ou maxima au lieu de MAPLE. Ca évite de "payer" la licence.

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La license, elle est offerte par ma prépa. Et j'aime beaucoup MAPLE! C'est extremement intuitif, surtout quand on sait programmer les calculatrices CASIO...

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Voici ce que l'on m'a appris :
Soit n le nombre cherché.
On a:
n=11x+2 (1)
n=17y+15 (2)
n=31z+20 (3)

(1) et (2):
11x+2=17y+15
x=(17y+13)/11
x=y+1+(6y+2)/11

6y+2=11k
y=k+(5k-2)/6
=>k=4+6t
=>y=4+6t+(5(4+6t)-2)/6
=>y=7+11t (4)
=>x=7+11t+1+(6(7+11t)+2)/11
=>x=12+17t (5)
(1)=>n=11x+2=11*(12+17t)+2=134+187t (6)
(2)=>n=17y+15=17*(7+11t)+15=134+187t (6)


(1) et (3):
11x+2=31z+20
=>x=2z+1+(9z+7)/11
or 9z+7=11u
=>z=u+(2u-7)/9
=>u=8+9s
=>z=9+11s
=>x=27+31s
=>n=11x+2
=>n=299+341s (7)

(6) et (7):
134+187t=299+341s
=>187t=165+341s (on simplifie par 11)
=>17t=15+31s
=>t=s+(14s+15)/17
s=5+17r
=>t=10+31r
(6)=>n=134+187(10+31r)=2004+5797 r
(7)=>n=299+341(5+17r) =2004+5797 r

Or n<=5000=>r=1 et la solution est unique: 2004.