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nombres complexes
bonjour,
encore un petit exercice,
soient u et v deux nombres complexes, trouver une conditions nécessaire et suffisante sur u et v pour que (z-u)(z-v) soit de module 1 pour tout z appartenant au cercle unité.
Il y a une méthode plutot simple et jolie, mais il faut expliquer le résultat s'il vous plait, parce que la réponse est très simple
bonne journée, blankez please
ploufplouf06 ->
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Cliquez pour afficherhey ! ouais très bien, l'an dernier j'étais en mp* mais j'avais des problèmes partout a part en maths, j'ai comblé un peu partout et ca se passe vraiment beaucoup mieux... on verra a la fin de l'année. bravo pour ton école. Sinon pour ce qui est de la vie la bas et des potes et tout, aucun problème
z, on a l'hypothèse avec u
0 et vsalut,
ming ->
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Cliquez pour affichervoila, cet exo est un exercice d'oral, d'une ecole sérieuse, donc la réponse est sérieuse
salut
il me semble que la seule hypothèse que l'on puisse faire est : u est réel positif....
mais v lui est quelconque...
(z-u)(z-v)=1 <==> z² - (u+v)z + uv -1 = 0
cette équation du second degré à coefficients complexes n'admet que deux solutions (à des tours près) et admet pour ensemble de solutions le cercle unité <==>
u+v = 0
uv = 0
donc u=v=0
...
Salut Caperdiem,
Oui, l'ensemble des solution est symétrique par rapport à O (il n'y a aucun doute, c'est la symétrie du cercle).
Ainsi, on peut considérer u réel positif. (c'était abusif de ma part de considérer u et v symétriques par rapport à O.)
Pour ce qui est de la solution, j'ai peu de doute : on cherche les foyer d'un ovale de cassini qui contienne un cercle.
Une erreur d'énoncé ?
merci pour l'ovale de Cassini....
mais il ne me semble pas qu'il y ait des cercles dans les ovales de Cassini....
carpediem, non, c'est le module de (z-u)(z-v) qui vaut 1. ton equation n'est donc pas valable.
matovitch non pas d'erreur d'énoncé, et pas besoin de passer par des trucs compliqués, c'est faisable pour un élève de terminale
Bonjour
Puisque |z|=1, on peut écrire z = ei
L'équation s'écrit alors |(ei-u)(ei-v)| = 1
autrement dit |ei2-(u+v)ei+uv| = 1
or pour a et b complexes on a |a+b| 
|a|+|b|
donc |ei2-(u+v)ei+uv| 1+|u+v|+|uv|
L'équation ne peut être vérifiée que si on a simultanément u+v = 0 et uv = 0
donc ssi u = v = 0
sauf bourde habituelle du dimanche après-midi
Bonjour littleguy !
donc |ei2-(u+v)ei+uv|
1+|u+v|+|uv|
L'équation ne peut être vérifiée que si on a simultanément u+v = 0 et uv = 0
Ce passage là me paraît faux (une inégalité n'est pas une égalité).
simon >> on est mauvais mais je reste persuadé qu'il n'y a que la solution u=v=0
.oui enfin on s'y ramène
|z² - (u+v)z + uv| = 1 <==> z² - (u+v)z + uv - 1 = 0 ou z² - (u+v)z + uv + 1 = 0
et les solutions de ces deux équations sont les nombres complexes de module
la première est la même et la deuxième doit en particulier être vérifiée pour z=1 et z=-1
ce qui conduit à uv=-2 et u+v=0
donc u²=2 soit u=-v= 
2 ou u=-v= -2
on obtient alors l'équation z² - 
2 - 1 = 0..qui doit être vérifiée par tous les éléments de U......
on peut remarquer que la symétrie en u et en v et la symétrie de U pouvait laisser penser à une solution symétrique....si solution ce qui est le cas.....
> matovitch Bonjour et merci Bien sûr que c'est faux ! (confusion entre inférieur et supérieur ; on est dimanche après-midi je t'avais prévenu ! 
j'arrive même plus a suivre les raisonnement,
carpediem par exemple :
on obtient l'équation z² -1 = 0 qui est vérifiée par les éléments de U !!!!!
si z=i, on a pas vraiment z^2=1...
bon, je propose ma solution en blanké:
Cliquez pour afficher
la droite perpendiculaire à (D) passant par O .On note M l'intersection de (D) et 
OB. On a donc AB qui est un diamètre du cercle unité, donc (quitte a échanger A et B) on a AMCa peut sembler un peu compliquer a lire, mais avec un dessin c'est vraiment extremement simple...
ha mais oui ... mais non c'est pas en module donc il n'y a pas de solution à la 2e équation !!!!
que de bêtise par manque de continuité.... faut dire que je regarde le match de rugby irlande vs france.....
et après avoir regardé ta solution géométrique alors ma solution algébrique est exacte (modulo toutes les erreur d'inattention !!!
Très joli solution !
Pour ma défense, lorsque je considérait que u et v étaient symétrique par rapport à O c'était du à l'image que
j'avais de l'ovale de cassini symétrique par rapport à l'axe portant ses foyers.
Bref je pense que cela peut se justifier, mais c'est moins élémentaire (et donc "joli") que la solution
que tu donnes.
merci, j'étais bien content de trouver cette solution parce que l'énoncé suggérait d'utiliser une résolution analytique bien bourrine, mais la géométrie marche bien mieux ici.
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