BONJOUR

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AU REVOIR

et quel est l'intérêt d'écrire des signes "multiplier" ?

Bonsoir,
ce qui est bien avec cette démonstration c'est qu'elle montre ( éventuellement, je n'ai pas vérifié les détails ) que le seul cycle possible de longueur trois est 1;4;2.
Et que Collaction en déduit qu'il n'y a pas d'autres cycles.
J'espère qu'il n'est pas en master de math.

Bonjour
Elle montre que le seul cycle possible est effectivement 1, 1, 1, ... si on ne conserve que les nombres impair car tout nombre impair x > 1 qui commence une suite de Syracuse ne peut se retrouver à nouveau dans la suite, mais il faut réfléchir et vérifier les détails pour le comprendre.
Bonne journée

C'est intéressant !
Quand on étudie les suites de Syracuse, on ne s'intéresse vraiment qu'aux entiers impairs puisque les autres sont divisés par 2 jusqu'à arriver à un impair.

On peut voir qu'il y a des entiers impairs qui sont "plus impairs" que d'autres au sens suivant :

Par exemple, 23 est plus impair que 1001 dans le sens où 23 = 2 * 11 + 1 et 1001 = 2 * 500 + 1
Pour 23, le quotient est un impair et pour 1001, le quotient est pair.

D'où cette idée d'introduire un indice d'imparité d'un nombre impair p de la façon suivante :

Je note le quotient de la division de p par 2. L'indice d'imparité de p est la fonction suivante :



On convient que pour tout k entier, ce qui étend la fonction i à tout entier.

Exemple :

Autrement dit, est tel que est la plus petite puissance de 2 pour laquelle le quotient de la division de p par soit paire ou vaille 1.

Partant, si on décompose un entier impair N selon son indice d'imparité, on peut l'écrire :

où k est pair.

Et donc



Si donc ce N est le début d'une suite de Syracuse alors il va se passer i(N) fois l'opération "3x+1 suivi de x/2" et l'opération suivante sera une division par 2.

Par exemple i(999) = 3

si on initialise Syracuse avec 999 on va avoir

Ainsi, plus l'indice d'imparité est élevé, plus le temps de vol de la suite en altitude est élevé puisque, après i(N) fois l'opération "3x+1 suivi de x/2 " on est passé de N à approximativement

Avec l'exemple ci-dessus on passe bien  de avant de redescendre.

en plus, donc on va passer à environ, avant de redescendre.

et et ça va plus voler longtemps.

Il n'existe donc aucun entier impair pour lequel l'opération "3x+1 suivi de x/2" se répète infiniment. Il y a obligatoirement un moment où l'on a l'opération "x/2 suivi de x/2".
Ce qui signifie que l'on croise obligatoirement, dans toute suite de Syracuse, un entier de la forme

Question : peut-on démontrer que l'opération "x/2 suivi de x/2 suivi de x/2" arrive obligatoirement ?
Réponse partielle : non si N = 1 ou 2 ou 4, mais pour les autres ? Si Syracuse est vraie, alors c'est oui. Et si c'est non, c'est que Syracuse est fausse.

Précision fondamentale :

Citation :
Avec l'exemple ci-dessus on passe bien  de avant de redescendre.

Question : peut-on démontrer que l'opération "x/2 suivi de x/2 suivi de x/2" arrive obligatoirement ?
Soit x impair = ((3*n+1)*4^j-1)/3 le résultat de 3*x+1 est égal à (3*n+1)*4^j, n nul ou pair, j>0.
Les divisions par 2 conduisent à 3*n+1, le nombre de divisions par 2 est égal à 2*j quelque soit n nul ou pair.
Soit x impair = ((3*n+2)*2^(2*j-1)-1)/3 le résultat de 3*x+1 est égal à (3*n+2)*2^(2*j-1) pour n impair et j>0.
Les divisions par 2 conduisent à 3*n+2, le nombre de divisions par 2 est égal à 2*j-1 quelque soit n impair.
Il est évident que pour plus de 99% des nombres impair le nombre de divisions par 2 est supérieur ou égal à 3.
J'ai bien répondu à la question ?

Comme a dit par Albert, tout est relatif et même l'infini grand ou petit, tout est une question de définition.
Prenons l'ensemble des entiers positifs non nul, à un nombre impair succède un nombre pair d'où on peut déduire que le nombre de nombres pair est le même que le nombre de nombres impair.
Mais pour chaque nombre impair x on obtient 2x,4x,8x,...(2^n)x soit n nombres pair donc l'ensemble des nombres impair est contenu n fois dans les nombres pair.
Pour chaque nombre impair x non divisible par 3 on obtient 3x,9x,27x,81x,...(3^n)x soit n nombres impair donc l'ensemble des nombres impair non divisible par 3 est contenu n fois dans l'ensemble des nombres impair divisible par3.
Les opérations réalisées dans une suite de Syracuse reviennent à réduire l'ensemble des entiers positifs >0 à l'ensemble des entiers positifs impairs non multiple de 3!
J'aurai du dire >99,99...99% ?

Soit n un entier.
On note p_n la probabilité pour qu'un entier pris au hasard suivant une loi uniforme sur {0 ; . . . ; n} soit impair et non multiple de 3.
Il est alors facile de voir que la limite de p_n quand n tend vers l'infini est égale à 1/3.

Je préfère amplement ce type de raisonnement clair et concis.