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Nombres Parfaits et nombres de Mersenne

Posté par
MathsManch
03-01-18 à 21:10

Bonsoir,

Je rencontre quelques difficultés dans une démonstration à faire d'un exercice de Spé Maths que j'ai trouvé sur internet et dont je ne trouve pas la correction. C'est du niveau Terminale S.

L'énoncé

Un nombre entier est dit parfait s'il est égal à la somme propre de ses diviseurs positifs,
La somme « propre » des diviseurs positifs est la somme de tous les diviseurs positifs de ce nombre sauf lui-même.

1 )     a) Déterminer les nombres parfaits inférieurs à 10
         b) Montrer que 28 est un nombre parfait.
          c) Montrer que 496 est un nombre parfait

2 ) On considère les nombres Pn=2n-1Mn où est un entier naturel non nul et Mn=2n-1
Mn  s'appelle nombre de Mersenne.

        a) Montrer que si Mn est un nombre premier alors Pn est un nombre parfait.
        b) En déduire les cinq premiers nombres parfaits que l'on peut ainsi générer.

3 ) Montrer que la somme des entiers consécutifs de 1 à Mn est égal à Pn


Mes réponses et traces de recherches:

1)Aucun problème
2)a) C'est assez frustrant car je n'y arrive vraiment pas à cette démonstration, je voulais montrer que la somme des diviseurs de Pn était égal à son double mais je n'arrive pas à le faire rigoureusement.
b) Pas de problème
3) Quelques indications seraient les bienvenues

Posté par
ilyass59
re : Nombres Parfaits et nombres de Mersenne 03-01-18 à 21:47

Bonjour,

Pour 2)a)

indice 1: les diviseurs positifs de Pn sont : 1,2,2², 2^3,......,2^(n-1), Mn , 2Mn, 2².Mn ,2^3. Mn ................................2^(n-2)Mn

indice 2= 1+q+q²+......qn=1-q^(n+1) /(1-q)  avec  q 1

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