Bonjour

Je ne connais pas les "tenants et aboutissants" des discussions antérieures et j'ai une question concernant cet "exercice" :

"Pourquoi utiliser uniquement une règle et ne pas utiliser également un compas ?"

parce que avec un compas c'est trop facile ...

les constructions géométriques se font avec des outils "imposés"
on choisit les règles (du jeu ) et il faut faire "avec ces règles"

- le traditionnel "règle (non graduée) et compas"
mais aussi :
- règle seule, toute seule (bof pas grand chose de constructible)
- règle + quelque chose de donné : ici un cercle,
dans une construction précédente (d'où le titre) un segment donné et une unique parallèle à ce segment
- règle + un autre outil, par exemple règle + équerre seule (sans compas)
- compas seul (sans règle)
etc etc ...

noter que le traditionnel "règle + compas" ne permet pas de construire tout.
les Grecs et depuis, des générations de chercheurs, se sont escrimés sur la quadrature du cercle (construire à la règle et au compas un carré de même périmètre qu'un cercle donné) jusqu'à ce qu'on démontre que c'était impossible.
de même pour la trisection de l'angle : c'est impossible avec seulement la règle et le compas.
de même pour la construction de polygones réguliers en général sauf si le nombre de côtés est de la forme 2ⁿD où D est un produit de nombres premiers "de Fermat" distincts.
on n'en connait que cinq : 3, 5, 17, 257 et 65537
le polygone régulier à 7 côtés n'est ainsi pas constructible à la règle et au compas (de façon exacte, on s'intéresse ici exclusivement à des constructions "mathématiquement exactes") le polygone à 17 côtés oui.
et même celui à 257 côtés et à 65537 côtés, à 51 côtés (= 3*17) etc
mais pas celui à 9 (= 3*3 pas distincts)

on peut ajouter aussi des "outils exotiques" :
- un outil capable de trisecter des angles. avec des systèmes articulés, des engrenages etc ...) on s'en fiche de cette réalisation "mécanique" on est ici dans le dommaine de la géométrie théorique, avec une précision infinie.
- un outil capable de tracer de façon continue des coniques (ellipses, hyperboles, paraboles) etc etc ...
- des courbes auxiliaires "toute tracées"

bref on fixe les règles du jeu : tel outil, telles restrictions
et on cherche à résoudre le problème posé en n'utilisant que ces outils là.
ici juste une règle et le cercle déja tracé. (tracé par magie : il est "donné")
une sorte de défi mathématique : je pourrais le faire avec tous les outils (c'est même facile) mais par défi je veux n'utiliser que la règle seule.

Steiner a prouvé que tous les points constructibles avec la règle et le compas sont aussi constructibles avec la règle seule, pourvu qu'on ait un unique cercle et son centre donné.
ici c'est donc possible, et le défi est de le réaliser pratiquement...

Bonjour à tous,

Bonjour,

Quoi qu'il en soit,nous pouvons déja remercier
mathafou pour le travail qu'il produit...

On va chercher...

Question:

Avec cette fameuse règle (que je n'achèterais pour rien
au monde), est-on capable de tracer une tangente au cercle?

Dans la "vraie" vie on y arrive par petits glissements

Oui

cela fait même partie des "classiques" à la règle seule
et pour faire ça on n'a même pas besoin de connaitre le centre du cercle (alors que pour mon "énigme", si, le centre est indispensable)

je donne cette construction hyper classique :
étant donné un cercle et un point P extérieur au cercle, construire à la règle seule les tangentes au cercle passant par P

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tracer deux sécantes PAA' et PBB' quelconques
les droites AB' et A'B se coupent en I
les droites AB et A'B' se coupent en J
la droite IJ coupe le cercle en T et U
les tangentes cherchées sont PT et PU

Variante : le point J pouvant être "très loin" on peut tracer une troisième sécante PCC'
les droites BC' et CB' se coupent en K
la droite JK est la même (polaire de P par rapport au cercle)

>mathafou

Merci
Donc je sais déja faire un rectangle inscrit...

Bonjour

Si,SI! encore,je vais devenir un spécialiste du
théorème de Poncelet-Steiner

Ton travail étant remarquable,il faut que de nouveaux adeptes
nous rejoignent ainsi,je suis déja en mesure de tracer un carré
inscrit ainsi qu'un octogone

Bien !!
tu peux même généraliser ton octogone à tous les polygones réguliers à 2ⁿ côtés comme le hexakaidecagone (beurk)

Bonjour

Dommage que je ne sois pas pratiquant de géogebra
car sur excel les images prennent trop d'octets.

Lorsqu'on connait la méthode des parallèles et des perpendiculaires,c'est vrai que la règle seule permet
de nombreuses figures.

Pour te remercier je te donne un résumé de mon approche
en attendant d'autres progrès:

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1/par ta méthode de la tangente je pose un point A
2/par le diamètre j'ai le point C
3/je trace une perpendiculaire quelconque à ce diamètre
4/par le centre je trace la bonne perpendiculaire par
la méthode du point avec 2 parallèles,donc B et D
Le carré ABCD est  donc tracé.
5/pour l'octogone et donc tous les autres multiples de 2
il suffit de tracer les médiatrices des cotés .

Bonjour,

"3/je trace une perpendiculaire quelconque à ce diamètre"
ah bon ?? comment ?
les seules perpendiculaires qu'on peut tracer ne sont justement pas quelconques.
ensuite pour tracer une parallèle à cette droite là il faudrait deux perpendiculaires au même diamètre.

Pour être sûr de ne pas faire de construction "fausse", le mieux est de se restreindre exclusivement au seul et unique outil de Geogebra
ou idem avec Car (Compass and Ruler) alias ZuL (Zirkel und Lineal) etc autres logiciels de Geométrie :
se restreindre exclusivement à l'outil "droite passant par deux points" et uniquement celui là.
(s'interdire les raccourcis du genre "on sait faire ci ou ça", le faire explicitement par "droite" et rien d'autre)

nota : la construction des tangentes, est ici inutile, mais bon il doit surement y avoir plusieurs constructions possibles, hein, pourquoi pas une avec construction de ces tangentes ...

"car sur excel les images prennent trop d'octets."
copie d'écran et coller dans Paint, découper etc enregistrer en format gif ou png.

Merci pour tes conseils

je pense que tu n'as pas compris mon point 3

1/mont point A est issu de la tangente que j'ai
tracée par ta methode
2/mont point C est le symétrique (diamètre)
3/une perpendiculaire à ce diamètre m'est nécéssaire
pour cela je prend un point Q quelconque hors du cercle
je trace AQ qui coupe le cercle en I
je trace QC qui coupe le cercle en J

suite

je trace AJ
IC  et AJ se coupent en Q'
QQ' est perpendiculaire à AC (cqfd)

4/Il ne me reste plus qu'à tracer la parallèle
par le centre (1 point deux parallèles)

Bonjour,

voici un tracé à la règle uniquement du carré

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1)tracé d'une perpendiculaire à un diamètre quelconque AB ( traits rouges)
Par un point P sur le cercle, on trace PB continué jusque K arbitraire.
On joint K à A qui coupe le cercle en P'et P à A. Les droites AP et P'B sont les hauteurs du triangle KAB et se coupent à l'orthocentre en H. La droite KH est donc
perpendiculaire à AB
2) tracé d'une parallèle à KHN. On trace OM et ON qui coupent le cercle en M' et N'.( on ne peut pas travailler avec le point de fuite de ces deux droites puisqu'il est à l'infini) Il faut donc tracer une troisième droite parallèle passant par P
3) tracé de la 3e parallèle passant par P. ( en jaune)On prolonge NOM' jusqu'en J (point de fuite arbitraire) On joint J à M qui coupe la droite M'N' en R. L'intersection de RN et de MM' donne le point P' situé sur la droite parallèle passant par P.
4)Recherche d'un point de la 4e parallèle passant par O.(lignes en vert) A partir de M on trace une droite quelconque qui coupe la 3e parallèle passant par P en T. Sur cette droite on prend un point de fuite L (quelconque) La droite TO coupe la droite MN en Q. On joint L et Q. Cette droite coupe  la 3e parallèle en V.La droite LK coupe la 3e parallèle en S.L'intersection de SM et de TK donne le point O' qui permet de tracer OO'
5) tracé du carré. L'intersection de OO' avec le cercle donne deux points qui reliés à AB figurent le carré ( en noir gras)

Voici la suite pour la construction de l'octogone

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on prolonge un coté du carré de la construction précédente et l'on prend un point de fuite Z quelconque. On joint ce point Z à B. L'intersection de cette droite ZB avec le côté du carré donne un point que l'on joint au sommet du carré situé entre A et B.L'intersection avec  AB donne le milieu d'un quadrilatère que l'on joint à Z.
La droite formée coupe le milieu du côté du carré passant par B en un point qui détermine le diamètre joignant 2 sommets de l'octogone.( traçé en trait fin grisé)

De la même façon pour les deux côtés du carré non utilisés et en prenant le point de fuite Z', on détermine 2 autres sommets de l'octogone. ( traçé en trait fin rosé)
La construction est en noir gras.

Bravo à tous deux.
(je n'avais effectivement pas bien compris ce que faisait dpi)

toutefois la méthode avec des parallèles n'est pas la plus efficace ici : la méthode avec les milieux est un peu plus rapide... par contre ne construit pas un carré inscrit avec un sommet choisi mais "un carré quelconque" inscrit.

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étant donné le cercle et son centre O
on choisit deux diamètres quelconques AA' et BB' (points A quelconque, droite OA etc)
cela donne immédiatement un rectangle inscrit ABA'B' (vert)
la méthode va consister à construire ensuite les milieux de AB' et A'B'

milieu de A'B' (mauve)
on choisit un point C quelconque sur AA'
CB' coupe AB en D
A'D coupe AB' en E
CE coupe A'B' en F, milieu de A'B'

Milieu de AB' (marron)
construction semblable à partir d'un point I quelconque sur A'B' pour obtenir le point L milieu de AB'

et c'est quasiment fini car OF et OL sont deux diamètres perpendiculaires qui coupent le cercle en G,M,H,N, sommets d'un carré inscrit.

En construisant avec la même méthode les milieux des côtés du carré (de façon générale du n-gone), on construit rapidement l'octogone (le 2n-gone)

Bonsoir,

>>>mathafou

En choisissant un diamètre AB quelconque, on peut construire n'importe quel carré !

Bien à vous

Bonsoir,

La question n'est pas vraiment là.
Bien sûr "on peut", mais je discutais du "simplement".
avec ta méthode, tu choisis le diamètre AB et tu construit non pas n'importe quel carré mais le carré de diagonale AB.
tu est donc "le maitre" direct du choix du carré.

ma méthode est plus simple, mais je ne suis pas le maitre du choix de quel carré sera construit au final.
c'est "la surprise" le carré construit !

le mieux est alors "un hybride" des deux méthodes :

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on construit par ta méthode au début pour avoir le rectangle MNN'M' de ta construction
et ensuite on poursuit avec ma méthode des milieux plutot que ta méthode des parallèles.

Etant donné donc le cercle de centre O et un point A quelconque de ce cercle, soit à construire le carré inscrit de sommet A.
Le point diamétralement opposé C à A est construit (droite (AO))
On choisit un point K arbitraire. Les droites KB et KC recoupent le cercle en P et P'
AP' et CP se coupent en H
KH est perpendiculaire à AC et recoupe le cercle en M et N
MO et NO donnent M' et N'
jusqu'ici c'est ta méthode.
ensuite je poursuis avec la mienne :
KM' coupe MN' en E, EN et MM' se coupent en J
KJ coupe NM' en Q milieu de NM' (propriété du trapèze MNM'E)
OQ coupe le cercle en B et C sommets cherchés du carré ABCD.

Bonjour,

voici en image une construction plus simple du carré

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on trace comme avant la perpendiculaire KMN au diamètre AB.On construit le rectangle MNN'M'au moyen du diamètre NM' et MN'.
Pour avoir un deuxième point du diamètre passant par O et perpendiculaire à AB, il suffit de tracer AN' et BN dont le point d'intersection est le point cherché.
On trace alors COD. Les points ABCD du carré sont trouvés !

Bonjour,

je continue avec la construction à la règle seule du triangle équilatéral et de l'hexagone

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On se base sur la construction précédente du rectangle MM'N'N et de l'axe COD.
Il s'agit de tracer d'abord le côté de l'hexagone. Nous savons que ce côté vaut R.
Il s'agit donc de tracer parallèlement à MM'le côté de l'hexagone qui est limité sur le cercle par deux parallèles qui passent par les milieux de AO et BO.
Pour trouver R le milieu de BO, on prend un point de fuite Z, obtenu en joignant B à N'.(en mauve). L'intersection des diagonales du trapèze OBN'Y (Y étant le milieu de NN')donne un point qui relié à Z permet de tracer la droite ZR.
Prenons un point de fuite quelconque W. On joint OW et BW. Dans le quadrilatère limité par ces deux droites, OB et la droite NN',  on trace les diagonales qui donnent le point V. La droite VR coupe le cercle en deux points de l'hexagone.De la même façon que pour tracer le rectangle MM'N'N on construit les 2 points symétriques des points que l'on vient de trouver avec la droite VR. Il suffit de relier les 4 points trouvés à A et à B pour construire l'hexagone.
Le triangle équilatéral découle de cette construction ( en orange)en reliant un sommet sur deux.

Bonjour,

C'est presque ça sauf le point V (pourquoi y a-t-il deux points V au fait ?)

tu devrais vraiment te mettre à Geogebra ou autre logiciel de géométrie qui permet de faire varier facilement ton "on choisit W quelconque" ...
(et qui met les points d'intersection pile dessus et pas à côté)

je sens que c'est presque fini cette énigme... je n'ai plus qu'à en préparer une autre.

Bonsoir,

>>> mathafou

   "Vingt fois sur le métier remettez votre ouvrage,
    Polissez-le sans cesse, et le repolissez,
    Ajoutez quelquefois, et souvent effacez."

Voilà ce que mon professeur mathafou conseille à son tout petit élève qui lui propose avec respect une construction remaniée de l'hexagone et du triangle équilatéral !

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On se base sur la construction précédente du rectangle MM'N'N et de l'axe COD.
Il s'agit de tracer d'abord le côté de l'hexagone. Nous savons que ce côté vaut R.
Il s'agit donc de tracer parallèlement à MM'le côté de l'hexagone qui est limité sur le cercle par deux parallèles qui passent par les milieux de AO et BO.
Pour trouver R le milieu de BO, on prend un point de fuite Z, obtenu en joignant B à N'.(en mauve). L'intersection des diagonales du trapèze OBN'Y (Y étant le milieu de NN')donne un point qui relié à Z permet de tracer la droite ZR.
Par le point R on fait passer deux sécantes ( en gris) qui coupent les droites parallèles COD et M'N'. En joignant les points d'intersection, on a le point de fuite W. Une sécante issue de W coupe les parallèles COD et M'N'. Les diagonales du quadrilatère formé par ces points se coupent en V qui appartient à la droite qui coupe le cercle en deux points de l'hexagone.La suite a été décrite dans le mon message précédent

Voila Impec
et hop, terminé.
j'l'avais bien dit qu'il n'y en avait plus pour longtemps sur cette énigme.

Bon Dimanche,

pour l'amusement voici le mode de construction à la règle du décagone et du pentagone.

 Cliquez pour afficher

Commençons par reprendre la figure qui a permis de construire l'hexagone.



Pour construire un premier point du décagone, il suffit de joindre D à R. On a Do1-P1
( premier point du décagone, premier point du pentagone ).Le premier côté est donné par Po1, B. Par symétrie de centre O, on obtient les points Do2, Do3-P2,Do6, Do7-P4,Do8



Pour continuer avec la même méthode, il faut prendre un autre diamètre de base. On prend le diamètre qui passe par Do1-P1, soit A3OB3. On prend un point du cercle P3 qui permet de construire la perpendiculaire K3H3 au diamètre A3OB3. Dans la foulée, on construit le rectangle en pointillé. L'intersection des droites issues de A3 et B3 et joignant les angles inférieurs du rectangle, permet de tracer l'axe C3OD3.
Comme précédemment, la construction en mauve donne la position de R3 milieu de O-B3.En joignant R3 à D3 on place le point Do10. Par symétrie, on obtient d'autres points du décagone (côtés bleus) et d'autres points du pentagone (côtés rouges)

voici la suite ( le site ne permet pas de placer plus de 3 images )

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comme précédemment (figure 3) nous recommençons avec un changement de diamètre de base.
Prenons le diamètre A4OB4 et faisons la même construction qu'avec la figure 3.




Nous obtenons les points manquants du décagone et du pentagone.

NB. Il y a un petit manque de précision : en finale, les côtés Do9-Do10 et Do4-Do5 doivent être parallèles au diamètre AB !

Bonjour,

Suite...
Je ne demandais pas la construction du pentagone (ni du polygone à 17 côtés )
Castoriginal, tu as fait du zèle
pour les curieux, une construction exacte du pentagone régulier inscrit à la règle seule :

 Cliquez pour afficher

les détails ne sont pas tracés (constructions classiques)
On part donc du diamètre AB, du rectangle MNPQ quelconque et du carré ACBD construits comme précédemment (je ne redétaille pas)
on complète par les parallèles (construction classique non détaillée) aux côtés de MNPQ passant par A, C et D (tangentes au cercle en ces points)
On obtient ainsi le point E
avec les parallèles, on duplique BO' = OB (construction classique non détaillée)
la droite DO' donne le point F
la droite EF coupe le cercle en K
la droite CK coupe la droite ED en I
on construit avec les parallèles le milieu H de DI (construction classique non détaillée)
avec les parallèles du rectangle MNPQ, on construit la parallèle passant par H
elle coupe le cercle en les sommets P₁ et P₅ du pentagone

On complète le pentagone comme suit :
P₅O donne D₄ (c'est un des sommets du décagone) et AP₅ // BD₄
avec ces deux parallèles on construit la parallèle à AP₅ passant par P₁, qui donne P₂
P₄ idem ou P₂P₄ // MN

Preuve :
démontrer que DH = cos(/5) =
Nota 1 : l'autre intersection de EF avec le cercle conduit à la construction de sin(/10) =

Nota 2 : DO' ne coupe PAS le cercle en P₅ : ce serait la construction défectueuse précédente (= approchée)

Il existe peut être des constructions plus simples, après tout on a déja DE = , ou même le milieu R de OB donne DR = .
Le problème est qu'il n'est pas si facile de reporter à la règle seule (et le cercle) une distance non parallèlement à elle même.

Cette construction ci est obtenue à partir du procédé de résolution général d'une équation du second degré avec la règle seule et le cercle donné.
c'est ce procédé qui répété 3 ou 4 fois donne la construction du polygone à 17 côtés.

En Conclusion

C'est Euclide qui doit être content

Bonjour dpi,

Il a de moins en moins d'adeptes ce brave Euclide ...

Pour estimer la précision toutefois de la construction "des compagnons"
cette construction donne cos pi/5 = 0.8 tout rond
la vraie valeur étant = 0.809016994...
l'erreur est de moins de 1%
on remarquera que cos pi/5 est la moitié du nombre d'or =
d'où le lien entre le pentagone (et pentagramme) et le nombre d'or / le rectangle d'or.

Bonjour mathafou,


Cette liaison entre etest
remarquable et on revient au pentagone.


J'espère que tu vas nous concocter des subtilités...