Bonjour,
En quelle année ?

Bonne nuit à tous,
Je me limite à la "conjecture raisonnable" : les 3 points et le sommet de la parabole sont cocycliques.
Une suite logique consisterait à faire le lien entre le point et le centre du cercle.
Pour l'instant : chou blanc.
Sans l'hyperbole d'Apollonius relative à je ne sais pas du tout où l'on va ...
Amitiés.

Bonjour,
Quelques compléments :
La parabole a pour équation

Un petit calcul permet d'affirmer que le centre de gravité du triangle est sur l'axe de la parabole et que son abscisse est
Deux des points étant donnés, par exemple et , on obtient immédiatement le troisième

On peut trouver analytiquement les points où les normales coupent la parabole.

On peut, par rotation et translations, ramener la parabole à l'équation y = a.x² (pour faciliter les calculs)

Soit P(X;Y) le point du plan par lequel doivent passer les normales, on montre facilement que les abscisses (b) des points où les normales coupent la parabole sont les solutions de l'équation :

2a².b³ + b.(1 - 2a.Y) - X = 0

Il y a donc au moins une solution réelle pour b (donc au moins une normale) et il peut y avoir 1 ou 2 autres normales en fonction des valeurs de a, X et Y

Mais cela n'aide pas beaucoup pour la construction.

Bonjour à tous
Kohle a la bonne idée: trouver le lien entre le centre du cercle et le point .
Une indication: il existe une transformation affine telle que: .
Amicalement
pappus

Bonsoir,
Une figure où est le symétrique du sommet par rapport au foyer de la parabole :

est d'ailleurs le point fixe de la transformation affine .
À justifier bien sûr.
_{Très simple mais j'ai eu un mal de chien.}
Amitiés.

Une justification :

est le point courant de la parabole d'équation
On écrit que la normale en passe par pour obtenir l'équation de degré 3 :


Le cercle de centre passant par a pour équation :

On obtient pour ses intersectons avec la parabole l'équation

Merci Kohle
Effectivement le point est l'unique point fixe de cette transformation affine dont la partie linéaire est diagonalisable .
Amitiés
pappus

Mon cher Kohle
Je t'ai lu à moitié compte tenu de ma torpeur habituelle.
Tu as entièrement répondu à ma question puisque tu as fourni les deux coordonnées du point .
Maintenant tu peux construire le point à la règle et au compas.
Ensuite tu traces le cercle de centre   passant par  .
Ses intersections avec la parabole donne les trois pieds des normales à la parabole issues de $P$. C'est là qu'on a besoin du logiciel de géométrie dynamique.
Cette construction est différente de celle donnée par l'hyperbole d'Apollonius
.Amitiés
pappus

Bonjour à tous
Sur la figure ci-dessus, j'ai superposé les deux constructions des trois pieds des normales données par le cercle de Kohle et l'hyperbole d'Apollonius.
Amicalement
pappus

Bonjour pappus et merci pour tout :cet exercice m'a encore une fois bien plu.
Tu as intitulé ton fil :

Mon cher Kohle
Toutes ces choses ne sont que de vieilles fariboles bien connues des taupins d'autrefois. Sans doute ont-elles été posées à l'oral du  CAPES à quelques candidats qui ont dû en baver un max!
Mais ce n'est pas fini!
Je pense qu'on peut rédiger une solution non calculatoire de ces configurations.
Amitiés
pappus

Bonjour pappus,