Bojour derny

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Je reconnais
1¹
9²
27³
36⁴
46⁵ et là, je suis surpris car je m'attendais à 45⁵ pour une forme générale (n-1)9ⁿ qui ne colle pas non plus avec le premier terme...

Bonjour,

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Je pense que le suivant est  32 296 447 249
si oui j'ai ....

Bonjour
Ce n'est pas ça. dpi, quelle était ton idée ?

Bonsoir,

On est de suite attiré sur 1 et 81

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j'ai donc testé les carrés puis les puissances
Comme  19 682 est un cube ,j'ai pensé que le suivant était une
puissance 4  vérifiable  en faisant  deux fois racine carrée.
Aucun doute pour le suivant et bingo puissance 5
Donc il est logique de penser que le futur est une puissance 6
Reste à savoir de quel nombre...
Les écart précédent étant 9 e t 10 ,j'ai tenté
avec 57 =46+11

Bonsoir
Effectivement ce sont des puissances mais pas que ...
Le nombre suivant est :
68 719 476 736

Bonjour,

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1      1
9     2
17   3
36    4
46    5
64    6
je constate que l'écart entre 27 et 9 est 18
écart que nous retrouvons  entre 64 et 46  
Reste à trouver la raison....

Il manque le nombre 9 à ta série. La voici avec le nombre suivant:

                   1
                   9
                  81
              19 683
           1 679 616
         205 962 976
      68 719 476 736
   6 722 988 818 432

Bonjour
Vous avez bien vu que chaque nombre est une puissance croissante. Reste à trouver les caractéristiques de ces nombres. Un gros coup de pouce demain si on n'avance pas d'ici là.

Je n'avais pas vu la réponse "du maitre".
En effet le nombre suivant est le bon.  Laissons encore un peu de temps aux autres avant de conclure. Pour le 9, pas convaincu ...

Pendant qu'on y est voici le nombre suivant :
248 155 780 267 521

Bonjour ,
J'en suis à :
Ton coup de pouce  248 155 780 267 521 correzspondant à je ne vois plus de logique
1 9 27 36  46 64 68? 63??

Bonjour dpi et aux autres
Difficile de donner un indice supplémentaire sans donner quasiment la solution. Ce sera pour bientôt si, à part LittleFox personne ne trouve.

Bonsoir
Un indice :
Pensez somme.

Bonjour,
Vu

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Le prochain sera  

Bonjour dpi et les autres
  ? ?

Bonjour,
"somme", ça aide bien!
Le suivant serait 457 163 239 653 376

Oups,
plutôt 248 155 780 267 521
Un Ctrl-S manquant dans Visual Studio Code

Bonjour >sanantonio312
Comme tu as pu le voir j'avais vu ce coup de pouce de derny
Donc il faudrait un nombre à la puissance 9.
Je donne  3 904 305 912 313 344

Bonjour dpi
oui,  248 155 780 267 521 correspond à 63⁸
le suivant serait donc 63⁹  =  15 633 814 156 853 823
Puis 72¹⁰ = 3 743 906 242 624 487 424

A mon avis
la puissance 9 est pour 54  que j'ai donnée.
ton   <--->67

pour la puissance 10  
=13 744 803 133 596 058 624

Je donne un dernier pour la route....
=8 007 313 507 497 959 524  352
on peut vérifier  --->98

Bonsoir
On touche au but.
J'avais déjà donné 248 ... pour 63^8.
En fait, pour chaque exposant, on prend le plus grand.
Par exemples, pour l'exposant  6, hormis le 1 hors concours, on a 4 solutions qui sont 18^6=34012224 avec 3+4+0+1+2+2+2+4=18
45^6=8303765625 avec 8+3+0+3+7+6+5+6+2+5=45
54^6=24794911296 avec 2+4+7+9+4+9+1+1+2+9+6=54
64^6=68719476736 avec 6+8+7+1+9+4+7+6+7+3+6=64
On prend le plus grand donc 64^6.
Je mettais arrêté à l'exposant 9.

Bonjour,
A la" main",je peux tenter ^12 ,mais maintenant que la règle est connue,
un programmeur va certainement nous étonner

Bonjour,
une fois que l'on connait la règle de construction ce n'est pas difficile de trouver :

Merci jandri
je peux me reposer

Bonjour
Avec quel logiciel jandri ?
Peux-tu nous donner les valeurs de 10 à 18 ?
Et jusqu'où peux-tu aller ?
En fait, je me posais la question de savoir si cette série est infinie, si elle s'arrête à une certaine valeur ou si certaines valeurs n'avaient pas de solution.
Cela fait beaucoup de questions et j'avais qualifié de "nouvelle série" cette série car elle ne figure pas dans le célèbre site qui les répertorie.

Bonjour, je dois être compètement bouché car dans cette explication:

Quand j'aurai compris, ce qu'il ne faut pas exclure (en tous cas je l'espère), j'essaierai de programmer ça en Python (j'ai commencé ce week-end)

Pour l'exposant 6 on a :
1 < 18 < 45 < 54 < 64
Donc 64 ^6 est la plus grande solution pour cet exposant.

Je te fais confiance

comme tout est au grand jour...
partons de ton dernier certain 63^8
on vérifie bien que la somme de ces chiffres est bien 63
Donc le suivant z sera le nombre qui avec l'exposant 9 donnera
un résultat dont la somme des chiffre est z
Ici z=54
A toi ....

Pour l'exposant 7 par exemple on a 1<18<27<31<34<43<53<58<68 soit 9 valeurs où la somme des chiffres = le nombre. On ne garde que 68^7.
Pour l'exposant 8 on a 1<46<63 (3 valeurs) donc on ne garde que 63^8.

Observation..
Jandri a donné les exposants 19 et 20
j'ai donné " à la main" l'exposant 11
Il se trouve que je ne trouve pas d'exposant 12..
cela voudrait il dire que la suite stoppe là dans ta définition du départ?

La valeur la plus proche est  =2 518 170 116 818 978 404 827 136  dont la somme des chiffres est 107

Ca fait partie des questions que je me pose. Il se pourrait qu'il y ai "des trous" dans la série.

Et le "trou" n'est pas admis dans une série
Jandri va nous vérifier ça.

Les valeurs entre 10 et 20 :

Ça y est, j'ai compris!
Je reviens de loin... Depuis le début j'avais un raisonnement faux qui ajouté à une erreur d'indice me faisais croire que je comprenais.
Faut que j'arrête de fumer la moquette moi...

dpi la somme de 108^12 fait bien 108 et non 107.
Merci aux programmeurs.
Ceci dit rien ne prouve qu'il n'y ait pas de trou !
Autre chose, au lieu d'écrire la série par ces chiffres qui deviennent vite très grands, on pourrait simplement écrire la suite des nombres à élever ce qui donnerait :
1, 9, 27, 36, 46, 64, 68, 63, 54, 117, 108, 108, 146, 154, ...
En fait, il n'y a jamais de trou car on peut toujours mettre 1 qui marche à chaque exposant.

Dans un premier temps, j'ai trois trous
pour les puissances 26, 27 et 28

Non, pas de trou.
Je propose
1, 9, 27, 36, 46, 64, 68, 63, 54, 117, 108, 108, 146, 154, 199, 187, 216, 181, 207, 207, 225, 256, 271, 288, 337, 324, 307,  328, 341, 396, 443, 388, 423, 463, 477, 424, 495, 469, 523 & 502 pour la puissance 40

Encore merci les programmeurs car je ne pense pas que mon ancien Basic puisse aller jusque là.

Mon code Python qui ne tient pas compte d'éventuelles erreurs d'arrondi de la machine:

import os

# Clear the screen on Unix-based systems (e.g., Ubuntu)
def clear_screen():
    os.system('clear')

clear_screen()

result=[]
indice=[]
tab=[]
for w in range (2,102):
    res=0
    for i in range (1,2000):
        j=i**w
        num=i**w   
        digit_sum = 0
        while num > 0:
            digit = num % 10
            digit_sum += digit
            num = num // 10   
        if digit_sum==i:
            res=i
            ind=w
    result.append(res)
    indice.append(ind)
    txt_ind=str(ind)
    if ind<10:
        txt_ind = "  " + txt_ind
    elif ind<100:
        txt_ind = " " + txt_ind
    txt_res=str(res)
    if res<10:
        txt_res = "   " + txt_res
    elif res<100:
        txt_res = "  " + txt_res
    elif res<1000:
        txt_res = " " + txt_res
    print("-"+txt_ind+": "+txt_res+"   ",end='')
    if (w-1) % 10 == 0:
        print("")
print("")

-  2:    9   -  3:   27   -  4:   36   -  5:   46   -  6:   64   -  7:   68   -  8:   63   -  9:   81   - 10:  117   - 11:  108   
- 12:  108   - 13:  146   - 14:  154   - 15:  199   - 16:  187   - 17:  216   - 18:  181   - 19:  207   - 20:  207   - 21:  225   
- 22:  256   - 23:  271   - 24:  288   - 25:  337   - 26:  324   - 27:  307   - 28:  328   - 29:  341   - 30:  396   - 31:  443   
- 32:  388   - 33:  423   - 34:  463   - 35:  477   - 36:  424   - 37:  495   - 38:  469   - 39:  523   - 40:  502   - 41:  432   
- 42:  531   - 43:  572   - 44:  603   - 45:  523   - 46:  592   - 47:  666   - 48:  667   - 49:  695   - 50:  685   - 51:  685   
- 52:  739   - 53:  746   - 54:  739   - 55:  683   - 56:  684   - 57:  802   - 58:  754   - 59:  845   - 60:  793   - 61:  833   
- 62:  865   - 63:  846   - 64:  871   - 65:  928   - 66:  927   - 67:  934   - 68:  837   - 69: 1016   - 70:  909   - 71:  991   
- 72: 1062   - 73: 1015   - 74: 1018   - 75: 1053   - 76: 1093   - 77: 1088   - 78: 1134   - 79: 1133   - 80: 1144   - 81: 1196   
- 82: 1231   - 83: 1207   - 84: 1188   - 85: 1277   - 86: 1225   - 87: 1288   - 88: 1206   - 89: 1358   - 90: 1422   - 91: 1278   
- 92: 1359   - 93: 1396   - 94: 1444   - 95: 1385   - 96: 1387   - 97: 1442   - 98: 1359   - 99: 1441   -100: 1489   -101: 1468   

Pour l'exposant 9 c'est bien 81 et non 54 comme je l'avais d'abord écrit. Il semble que ce soit les 2 seules possibilités pour cette puissance hormis 1.

Bravo pour les programmeurs.
Question
pour ^10     82 est avant 117 et devrait prendre sa place *
pour ^11     98 est avant  108 et devrait le remplacer dans la liste *
pour  ^12    108 convient bien ,j'avais une erreur de1
*Comment expliquer que les programmes  n'aient pas donné ces cas

@dpi
il y a deux questions différentes :

Soit le plus petit tel que la somme des chiffres de soit égale à

Soit le plus grand tel que la somme des chiffres de soit égale à

Tu t'es intéressé à alors que derny s'est intéressé à .


Les premières valeurs de (de 2 à 20) :
9, 8, 7, 28, 18, 18, 46, 54, 82, 98, 108, 20, 91, 107, 133, 80, 172, 80, 90.

Les premières valeurs de (de 2 à 20) :
9, 27, 36,46 ,64 ,68 ,63 ,81 ,117 ,108 ,108 ,146 ,154 ,199 ,187 ,216 ,181 ,207 ,207.

On observe que pour et .

dpi j'ai pris les + grandes valeurs "plus difficiles" à trouver (pour moi) que les + petites. Je pensais être clair.
messages du 9 à 22h14, du 10 à 10h47 et du 10 à 14h23.
Il faut donc, pour chaque exposant calculer toutes les valeurs possibles.
Je m'étais arrêté à l'exposant 9 et c'est l'exposant 7 qui a le + de solutions possibles.

Pour compléter voici les valeurs de f(n) pour n de 2 à 100 :

9, 8, 7, 28, 18, 18, 46, 54, 82, 98, 108, 20, 91, 107, 133, 80, 172, 80, 90, 90, 90, 234, 252, 140, 306, 305, 90, 305, 396, 170, 388, 170, 387, 378, 388, 414, 468, 449, 250, 432, 280, 461, 280, 360, 360, 350, 370, 270, 685, 360, 625, 648, 370, 677, 684, 370, 667, 370, 694, 440, 855, 827, 430, 818, 837, 450, 837, 540, 540, 917, 901, 853, 936, 630, 1044, 1061, 964, 610, 1044, 1062, 1048, 730, 1188, 1051, 1134, 1187, 730, 1151, 1306, 720, 720, 810, 1285, 820, 1387, 1237, 1359, 1322, 1363

J'ai voulu aller plus loin que 100 mais j'ai eu un problème :
pour n=105 il n'existe pas de tel que la somme des chiffres de soit égale à .

Il suffit de tester les x de 2 à 3400 puisqu'on a la condition