Bonjour à tous 😊
En cherchant un problème à propos de polyèdres convexes , j'en suis arrivé à supposer qu'il existait des octaèdres convexes dont les faces seraient constituées uniquement de triangles , quadrilatères , pentagones et hexagones et en nombre égal .
En bref : 2 triangles , 2 quadrilatères , 2 pentagones et 2 hexagones .
Un tel polyèdre aurait 12 sommets et de chacun d'eux partiraient 3 arêtes .
Il n'y a pas d'impossibilité à priori mais dans la pratique il n'est pas évident de trouver le patron d'un tel solide .
Alors , avis aux amateurs
Imod
PS : j'ai naïvement posé la question à Chatgpt qui m'a répondu que c'était impossible à cause des angles .
PPS : le problème est ouvert , inutile blanker 😊
Bonjour,
avant d'en chercher un patron il faut déja en chercher des graphes (graphe planaires avec 12 sommets de degré 3, 8 faces dont etc, et 18 arêtes)
déja les graphes planaires représentant un polyèdre avec 12 sommets et 18 arêtes sont au nombre de 14 selon OEIS A049337
on devrait pouvoir les énumérer explicitement et déterminer celui / ceux qui correspond au différentes faces imposées.
...si ça existe.
plantri trouve seulement 10 graphes, les 4 derniers ont des faces de degré > 6
blank pour ne pas surcharger le message
Bien vu.
j'ai du faire une erreur car la liste de plantri n'en donne qu'un seul, différent du tien. (réellement différent car mes deux pentagones sont jointifs chez moi alors que les deux quadrilatères sont non jointifs)
on aurait pu s'attendre à ce qu'elle donne aussi le tien !!
.
Joli Verdurin et merci à Mathafou pour les liens que je connaissais pas
Si j'étais plus gourmand je demanderais en plus une vue en perspective du solide en question
Merci à tous les deux et un gros malus à Chatgpt
Imod
vu une erreur.
je retrouve bien le tien, posé sur une base différente mais topologiquement identique.
ce qui permet de le décrire par troncature d'une pyramide à base carrée (en tout cas un quadrilatère)
de la liste précédente (matrice d'adjacence) :
2: 1[2 3 4] 2[1 5 6] 3[1 7 4] 4[1 3 8] 5[2 9 6] 6[2 5 10] 7[3 10 11] 8[4 11 9] 9[5 8 12] 10[6 12 7] 11[7 12 8] 12[9 11 10]
plus un autre qui me semble plus "délicat" voir impossible à réaliser :
le 5: 1[2 3 4] 2[1 4 5] 3[1 6 7] 4[1 7 2] 5[2 8 9] 6[3 9 10] 7[3 8 4] 8[5 7 11] 9[5 12 6] 10[6 12 11] 11[8 10 12] 12[9 11 10]
Mon idée de base est la suivante :
On part d'une pyramide à base hexagonale que l'on coupe par un plan passant par une arête AB de la base, on obtient un heptaèdre avec deux faces hexagonales, deux faces triangulaires et trois faces quadrangulaires. Ensuite on chanfreine l'arête opposée à AB et on obtient l'octaèdre voulu.
Au départ je n'ai pas pensé en termes de graphes, mais quand j'ai voulu poster tu avais déjà répondu et j'ai trouvé ton approche très intéressante.
Il y a peut-être d'autres solutions que celle que j'ai trouvée.
Je suis toujours trop lent.
Ta vision me semble de beaucoup préférable pour faire un développement effectif du solide.
pour obtenir toutes les solutions on part de la liste des graphes planaires citée, on filtre pour ne garder que ceux formés de 2 triangles 2 quadrilatères, 2 pentagones et 2 hexagones
(compter comme face le polygone du pourtour !)
chacun de ces graphes donne par équivalence topologique d'autres représentations planaires du même graphe,
c'est à dire un autre choix de la base du solide
par exemple ton solide et le mien sont équivalents, bien que d'apparence très différente.
Si on veut postuler pour un concours de lenteur , je suis présent
Topologiquement , il y aurait plusieurs représentations du solide ?
Imod
des solides différents ayant les mêmes relations internes
comme ma pyramide à bases carré tronquée et la pyramide à base hexagonale tronquée de verdurin
on peut renommer les sommets de celui de verdurin pour qu'ils correspondent exactement aux sommets de mon solide :
chacun des polygones de même type ont le même nom et sont disposés de la même façon (à symétrie près)
sans tenir aucun compte de leurs dimensions et angles (topologique ...)
dpi
ton dessin ne représente pas un polyèdre.
(tout est forcément aplati sur la base)
edit : tu l'as vu. (messages croisés)
un exemple de patron de mon solide
les points S, E, F, G libres définissent les dimensions
on commence par la pyramide SABCD que l'on coupe par le plan horizontal par E
puis que l'on recoupe par le plan défini par F et G
la vue de dessus (figure intérieure) détermine en vraie grandeur le polygone GHIJKL
on peut bien sur déformer tout ça (pyramide irrégulière et plan de coupe incliné etc ...mais ça va devenir inutilement bien plus compliqué...
en l'état actuel de mes recherches (cf mon erreur précédente), les seuls agencements de faces (à déformation près) sont celle ci = celle de verdurin
et l'autre identifiée dans la liste de plantri déja citée
5: 1[2 3 4] 2[1 4 5] 3[1 6 7] 4[1 7 2] 5[2 8 9] 6[3 9 10] 7[3 8 4] 8[5 7 11] 9[5 12 6] 10[6 12 11] 11[8 10 12] 12[9 11 10]
c'est à dire le graphe :
mais je ne vois pas trop comment obtenir des faces planes avec un tel graphe : il est nécessaire de le déformer pas mal...
(sauf d'autres erreurs dans la réalisation des autres graphes de plantri)
Bravo !
Il y a quand même deux choses qui m'étonnent.
J'ai obtenu les mêmes graphes avec plantri mais pas avec les mêmes noms.
Pourquoi avons nous tous les deux pensé à des pyramides pour la première solution ? Ça marche aussi bien avec des prismes.
il faut voir exactement quels paramètres de plantri on a choisi
et puis plantri donne une vue "abstraite" (matrice d'adjacence sommets sommets) du graphe, pour lequel il existe plusieurs "réalisations graphiques" (graphes topologiquement équivalents)
mes graphes ont été obtenus en plaçant "en vrac" les sommets , en créant les arêtes, puis en le déformant (déplaçant les sommets) pour qu'il soit visiblement planaire
le choix de l'emplacement des sommets sur un dessin de ce graphe est ainsi assez arbitraire.
prisme, certes, mais après tout un prisme est une pyramide tronquée dont le sommet est à l'infini.
topologiquement c'est la même chose : prisme= pyramide tronquée.
et en ce qui nous concerne, on peut même utiliser comme base un solide qui n'est ni un prisme ni une pyramide, mais un "tas de sable" (au lieu d'un sommet il y a une "arête sommitale", ligne brisée dans l'espace reliant plusieurs sommets)
c'est ce qu'il se passe dans mon dernier message, avant de tronquer le petit triangle rouge.
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