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Octaèdre double faces

Posté par
Imod
09-10-24 à 11:31

Bonjour à tous 😊

En cherchant un problème à propos de polyèdres convexes , j'en suis arrivé à supposer qu'il existait des octaèdres convexes dont les faces seraient constituées uniquement de triangles , quadrilatères , pentagones et hexagones et en nombre égal .

En bref : 2 triangles , 2 quadrilatères , 2 pentagones et 2 hexagones .

Un tel polyèdre aurait 12 sommets et de chacun d'eux partiraient 3 arêtes .

Il n'y a pas d'impossibilité à priori mais dans la pratique il n'est pas évident de trouver le patron d'un tel solide .

Alors , avis aux amateurs  

Imod

PS : j'ai naïvement posé la question à Chatgpt qui m'a répondu que c'était impossible à cause des angles .
PPS : le problème est ouvert , inutile blanker  😊  

Posté par
mathafou Moderateur
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 13:26

Bonjour,
avant d'en chercher un patron il faut déja en chercher des graphes (graphe planaires avec 12 sommets de degré 3, 8 faces dont etc, et 18 arêtes)

déja les graphes planaires représentant un polyèdre avec 12 sommets et 18 arêtes sont au nombre de 14 selon OEIS A049337
on devrait pouvoir les énumérer explicitement et déterminer celui / ceux qui correspond au différentes faces imposées.
...si ça existe.

plantri trouve seulement 10 graphes, les 4 derniers ont des faces de degré > 6

blank pour ne pas surcharger le message

 Cliquez pour afficher


reste à les dessiner / calculer le degré de chaque face à partir de ces listes d'incidences.

Posté par
verdurin
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 15:16

Salut,
un graphe qui semble convenir :

Octaèdre double faces

Posté par
mathafou Moderateur
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 16:08

Bien vu.
j'ai du faire une erreur car la liste de plantri n'en donne qu'un seul, différent du tien. (réellement différent car mes deux pentagones sont jointifs chez moi alors que les deux quadrilatères sont non jointifs)
on aurait pu s'attendre à ce qu'elle donne aussi le tien !!


.

Posté par
Imod
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 17:31

Joli Verdurin et merci à Mathafou pour les liens que je connaissais pas
Si j'étais plus gourmand je demanderais en plus une vue en perspective du solide en question

Merci à tous les deux et un gros malus à Chatgpt

Imod

Posté par
mathafou Moderateur
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 17:33

vu une erreur.

je retrouve bien le tien, posé sur une base différente mais topologiquement identique.
ce qui permet de le décrire par troncature d'une pyramide à base carrée (en tout cas un quadrilatère)

Octaèdre double faces
de la liste précédente (matrice d'adjacence) :
2: 1[2 3 4] 2[1 5 6] 3[1 7 4] 4[1 3 8] 5[2 9 6] 6[2 5 10] 7[3 10 11] 8[4 11 9] 9[5 8 12] 10[6 12 7] 11[7 12 8] 12[9 11 10]

plus un autre qui me semble plus "délicat" voir impossible à réaliser :
le 5: 1[2 3 4] 2[1 4 5] 3[1 6 7] 4[1 7 2] 5[2 8 9] 6[3 9 10] 7[3 8 4] 8[5 7 11] 9[5 12 6] 10[6 12 11] 11[8 10 12] 12[9 11 10]



Posté par
mathafou Moderateur
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 17:35

avec le graphe tu as déja un aperçu de la vue de dessus

Posté par
verdurin
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 17:38

Mon idée de base est la suivante :
On part d'une pyramide à base hexagonale  que l'on coupe par un plan passant par une arête AB de la base, on obtient un heptaèdre avec deux faces hexagonales, deux faces triangulaires et trois faces quadrangulaires. Ensuite on chanfreine l'arête opposée à AB et on obtient l'octaèdre voulu.

Au départ je n'ai pas pensé en termes de graphes, mais quand j'ai voulu poster tu avais déjà répondu et j'ai trouvé ton approche très intéressante.
Il y a peut-être d'autres solutions que celle que j'ai trouvée.

Posté par
verdurin
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 17:45

Je suis toujours trop lent.
Ta vision me semble de beaucoup préférable pour faire un développement effectif du solide.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 17:50

pour obtenir toutes les solutions on part de la liste des graphes planaires citée, on filtre pour ne garder que ceux formés de 2 triangles 2 quadrilatères, 2 pentagones et 2 hexagones
(compter comme face le polygone du pourtour !)

chacun de ces graphes donne par équivalence topologique d'autres représentations planaires du même graphe,
c'est à dire un autre choix de la base du solide

par exemple ton solide et le mien sont équivalents, bien que d'apparence très différente.

Posté par
Imod
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 18:02

Si on veut postuler pour un concours de lenteur ,  je suis présent

Topologiquement , il y aurait plusieurs représentations du solide ?

Imod

Posté par
dpi
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 18:20

Bonjour,
Avec une base hexagonale et un somme hexagonal concave....

Octaèdre double faces

Posté par
mathafou Moderateur
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 18:42

des solides différents ayant les mêmes relations internes
comme ma pyramide à bases carré tronquée et la pyramide à base hexagonale tronquée de verdurin
on peut renommer les sommets de celui de verdurin pour qu'ils correspondent exactement aux sommets de mon solide :

Octaèdre double faces

chacun des polygones de même type ont le même nom et sont disposés de la même façon (à symétrie près)
sans tenir aucun compte de leurs dimensions et angles (topologique ...)

Posté par
dpi
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 18:54

  pas possible en 3D

Posté par
mathafou Moderateur
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 18:55

dpi
ton dessin ne représente pas un polyèdre.
(tout est forcément aplati sur la base)

edit : tu l'as vu. (messages croisés)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 19:52

un exemple de patron de mon solide

Octaèdre double faces

les points S, E, F, G libres définissent les dimensions
on commence par la pyramide SABCD que l'on coupe par le plan horizontal par E
puis que l'on recoupe par le plan défini par F et G
la vue de dessus (figure intérieure) détermine en vraie grandeur le polygone GHIJKL
on peut bien sur déformer tout ça (pyramide irrégulière et plan de coupe incliné etc ...mais ça va devenir inutilement bien plus compliqué...

Posté par
Imod
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 21:38

Jolie réalisation

Je me demandais s'il était possible de disposer les faces autrement .

Imod

Posté par
mathafou Moderateur
re : Octaèdre double faces 09-10-24 à 22:29

en l'état actuel de mes recherches (cf mon erreur précédente), les seuls agencements de faces (à déformation près) sont celle ci = celle de verdurin

et l'autre identifiée dans la liste de plantri déja citée
5: 1[2 3 4] 2[1 4 5] 3[1 6 7] 4[1 7 2] 5[2 8 9] 6[3 9 10] 7[3 8 4] 8[5 7 11] 9[5 12 6] 10[6 12 11] 11[8 10 12] 12[9 11 10]

c'est à dire le graphe :

Octaèdre double faces

mais je ne vois pas trop comment obtenir des faces planes avec un tel graphe : il est nécessaire de le déformer pas mal...

(sauf d'autres erreurs dans la réalisation des autres graphes de plantri)

Posté par
dpi
re : Octaèdre double faces 10-10-24 à 07:27

A mon avis Platon doit apprécier

Posté par
mathafou Moderateur
re : Octaèdre double faces 10-10-24 à 14:12

Citation :
je ne vois pas trop comment obtenir des faces planes avec un tel graphe : il est nécessaire de le déformer pas mal...

ce n'est pas trop dur en fait
il suffit de déplacer les sommets de la crête de ce massif montagneux en respectant les contraintes pour transformer le graphe en une vue de dessus réelle.
je garde les sommets du graphe avec les noms de plantri (1 à 12)

à partir d'un choix arbitraire de l'hexagone de base
la droite(9-12) est l'intersection des plans (6-10-12) et (8-11-12
par conséquent les droites (6-10), (8-11) et (9-12) sont concourantes en un point M (en dehors de la figure) ou parallèles
ceci donne une contrainte sur le point 9
on fait de même avec toutes les intersections suivantes de proche en proche (points N et P) et le sommets S, intersection des plans
(2-3-6) , (2-7-8) et (1-3-7)
enfin on tronque ce dernier trièdre par le plan (1-2-4)

Octaèdre double faces

il ne reste plus qu'à transformer cette vue de dessus en un solide réel en déterminant les hauteurs de proche en proche à partir de la hauteur arbitraire du point 12 et des choix arbitraires contraints des points libres.
soit sur un patron soit sur une vue en perspective. figurant les intersections de droites précitées.

Posté par
verdurin
re : Octaèdre double faces 10-10-24 à 17:11

Bravo !
Il y a quand même deux choses qui m'étonnent.
J'ai obtenu les mêmes graphes avec plantri mais pas avec les mêmes noms.
Pourquoi avons nous tous les deux pensé à des pyramides pour la première solution ? Ça marche aussi bien avec des prismes.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Octaèdre double faces 10-10-24 à 18:01

il faut voir exactement quels paramètres de plantri on a choisi
et puis plantri donne une vue "abstraite" (matrice d'adjacence sommets sommets) du graphe, pour lequel il existe plusieurs "réalisations graphiques" (graphes topologiquement équivalents)
mes graphes ont été obtenus en plaçant "en vrac" les sommets , en créant les arêtes, puis en le déformant (déplaçant les sommets) pour qu'il soit visiblement planaire
le choix de l'emplacement des sommets sur un dessin de ce graphe est ainsi assez arbitraire.

prisme, certes, mais après tout un prisme est une pyramide tronquée dont le sommet est à l'infini.
topologiquement c'est la même chose : prisme= pyramide tronquée.
et en ce qui nous concerne, on peut même utiliser comme base un solide qui n'est ni un prisme ni une pyramide, mais un "tas de sable" (au lieu d'un sommet il y a une "arête sommitale", ligne brisée dans l'espace reliant plusieurs sommets)
c'est ce qu'il se passe dans mon dernier message, avant de tronquer le petit triangle rouge.

Posté par
verdurin
re : Octaèdre double faces 10-10-24 à 21:31

Je suis parti d'un graphe à 8 sommets ( chaque sommet représente une face ) ce qui permet de repérer facilement ceux qui respectent les conditions imposées, puis j'ai demandé les arêtes du dual.



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