Niveau exercices

Officiel de la Taupe 167b

Posté par
perroquet 24-05-08 à 19:48

(re)Bonjour

Un exercice sur les séries (ENSAM option PSI)

Citation :

Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_1>0$ et $3$ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{nu_n}$ tend vers $+\infty$ et en donner un équivalent.

Posté par re : Officiel de la Taupe 167b 25-05-08 à 10:01

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{nu_n}$ . Donc $(u_n)_{n\geq1}$ est croissante.

On a $u_n=u_1+\bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{ku_k}\geq u_1+\frac{1}{u_{n-1}}\bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}$

Si $(u_n)_{n\geq1}$ convergeait, sa limite $\ell$ serait strictement positive. Comme
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}=+\infty$ , on aurait une contradiction donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ .

Ensuite, on a par exemple $u_{n+1}^2=u_n^2+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2 u_n^2}$ donc la série de terme général $v_n=u_{n+1}^2-u_n^2-\frac{2}{n}$ converge donc tend vers 0. On en déduit que
$\bigsum_{k=1}^n u_{k+1}^2-u_k^2=u_{n+1}^2\simeq 2\bigsum_{k=1}^n \frac{1}{k}\simeq 2\ln{n}$ .

Donc $u_n\simeq\sqrt{2\ln{n}}$