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Niveau exercices
Officiel de la Taupe 7
Posté par perroquet
Bonsoir.
De l'algèbre linéaire (ENS option MP)
Citation :
Soit P un polynôme de degré n à coefficients complexes, à racines toutes distinctes notées![M_i, i \in [1,n]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?M_i, i \in [1,n])
et de coefficient dominant 1. On appelle discriminant de P le nombre ^{n(n-1)/2} \prod_{i\neq j}(M_i-M_j))
.
Montrer que le discriminant de P s'écrit^{n(n-1)/2}\prod_{i=1}^nP'(M_i))
Soit A une matrice carrée à coefficients complexes dont le polynôme caractéristique est à racines simples et de coefficient dominant 1. Soit B la matrice carrée dont les coefficients sont définis par)
. Montrer que le discriminant du polynôme caractéristique est égal au déterminant de B
Soit P un polynôme de degré n à coefficients complexes, à racines toutes distinctes notées
Montrer que le discriminant de P s'écrit
Soit A une matrice carrée à coefficients complexes dont le polynôme caractéristique est à racines simples et de coefficient dominant 1. Soit B la matrice carrée dont les coefficients sont définis par
Bonsoir perroquet,
Très bonne résolution. J'ai une petite critique concernant la formulation de cet exercice: la première question ne sert à rien, j'aurais plutôt fait d'abord calculer le déterminant de Vandermonde avant de demander le calcul du déterminant de B.
Dans le cas où la matrice A est réelle et possède n valeurs propres réelles distinctes, on peut demander de montrer que B est symétrique définie positive (à valeurs propres strictement positives).
Quand A est réelle et ne possède pas de valeur propre complexe double, on peut montrer que le signe de det(B) ne dépend que du nombre n0 de valeurs propres réelles de A. C'est:
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