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Officiel de la Taupe: planche 1

Posté par
perroquet 04-03-09 à 23:44

Bonjour

Un exercice sur les valeurs propres, les vecteurs propres et les sous-espaces stables, posé à l'ENS Lyon.

Citation :

On note E l'ensemble des suites réelles indexées à partir de n=1.
Donner les valeurs propres et les vecteurs propres de l'endomorphisme T qui à une suite $(u_n)$ associe $(v_n)$ définie par $3$ v_n=\sum_{k=1}^n ku_k$
Pour $\mu$ valeur propre de T, trouver $\ker\left((T-\mu Id)^2\right)$
Déterminer les sous-espaces de dimension finie stables par T.

NB: j'ai modifié l'énoncé, qui demandait les sous-espaces stables par T.
Si quelqu'un sait caractériser les sous-espaces stables par T (de dimension infinie), qu'il n'hésite pas à proposer sa solution.

Posté par

1 Schumi 1re : Officiel de la Taupe: planche 1 05-03-09 à 00:45

Salut

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Soit (u_n) un vecteur propre associé à une valeur propre de T et n0 le plus petit indice tel que u_(n₀) soit non nul.
Alors l*u_n=n₀u_n0 et l est un entier naturel.
Réciproquement, on se donne un entier naturel m. Il n'est guère compliqué de trouver une suite vérifiant v_n=mu_n. Par contre, c'est un truc assez déguelasse parce que u_n est définie par une récurrence forte, rien de bien sympathique donc...
Je cherche la suite.

Posté par

elhor_abdelali

re : Officiel de la Taupe: planche 1 05-03-09 à 01:33

Bonsoir ;

1 Schumi 1 >>

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Je trouve en effet $3$\fbox{Spectre(T)=\mathbb{N}^*}$ , les espaces propres $E_m\;,\;m\in\mathbb{N}^*$ sont tous de dimension $1$

une base de $E_m$ étant la suite $(u_n)_{n\ge1}$ définie par $3$\fbox{u_n=0\;si\;n<m\\u_n=\frac{(-m)^{n-m}}{(n-m)!}\;si\;n\ge m}$

_{sauf erreur bien entendu}

Posté par

1 Schumi 1re : Officiel de la Taupe: planche 1 05-03-09 à 01:48

elhor >>

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Au temps pour moi, je n'avais pas essayé de simplifier mon expression mais il semble en effet que cela marche.

Posté par

perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 1 11-03-09 à 21:46

Bonjour

Voici une solution de l'exercice

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On cherche à résoudre l'équation $\quad Tu=\alpha u \quad$ , où $\alpha$ est un élément de $\mathbb C$ et $u$ est une suite. On cherche donc à résoudre le système:
$3$ \alpha u_n=\sum_{ k=1}^n k u_k \quad \quad k \in {\mathbb N}$
Premier cas $\quad \alpha \in \mathbb C \setminus {{\mathbb N}}^{\star}$

    Alors $\quad u_1=\alpha u_1 \quad$ . Donc $\quad u_1=0$
    Supposons $\quad u_1=\ldots =u_n=0$ .
    Alors     $3$ \quad (n+1)u_{n+1}=\sum_{ k=1}^{n+1}ku_k= \alpha u_{n+1} \quad$ . Donc $\quad u_{n+1}=0$ .
    Donc, $u$ est la suite nulle et on en déduit que $0$ n'est pas une valeur propre de $T$

Deuxième cas $\quad \alpha =N \in {\mathbb N}^{\star}$

    On démontre de la même manière que dans le premier cas que $\quad \forall k \in \{1,\ldots ,N-1\} \quad u_k=0$
    On démontre maintenant par récurrence que $3$ \quad \forall n \in {\mathbb N} \quad u_{n+N}=\frac{ (-N)^n}{n!}u_N\quad \quad {\rm et} \quad \ \sum_{ k=1}^{n+N}ku_k=Nu_{n+N}$
    La propriété est facile à vérifier pour $n=0$
    Supposons la propriété vraie jusqu'au rang $n$ . Alors sachant que $3$ \quad \sum_{ k=1}^{n+N}ku_k=Nu_{n+N}$ :
    l'égalité $3$ \quad \sum_{ k=1}^{N+n+1}ku_k=Nu_{N+n+1}\quad$ est équivalente à $\quad Nu_{n+N}+(N+n+1)u_{n+N+1}=Nu_{n+N+1}\quad$
    elle est donc équivalente à $\quad u_{N+n+1}=-\frac{ Nu_{N+n}}{n+1}=\frac{ (-N)^{n+1}u_N}{(n+1)!}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$ .

On en déduit que $N$ est valeur propre de $T$ et que le sous-espace propre de $T$ associé à $N$ est l' ensemble des suites $(u_n)$ définies par $\quad u_1=\ldots=u_{N-1}=0 \quad {\rm et} \quad \forall n \in {\mathbb N} \quad u_{n+N}=\frac{ (-1)^n N^n}{n!}u_N$

Citation :
L'ensemble des valeurs propres de $T$ est ${\mathbb N}^{\star}$ . Pour tout entier $n>0$ , le sous-espace propre de $T$ est la droite engendrée par la suite $(u_n)$ avec

$u_1=\ldots=u_{N-1}=0 \quad {\rm et} \quad \forall n \in {\mathbb N} \quad u_{N+n}=\frac{ (-N)^n}{n!}$

Détermination de $\ker((T-N\, {\rm Id})^2)$

Soit $u$ un élément de ce noyau. Alors $\quad v=(T-N\, {\rm Id})u \quad$ est un  vecteur propre de $T$ associé à la valeur propre $N$ . On a donc:
$3$ \forall n \in {\mathbb N}^{\star} \quad -Nu_n+\sum_{ k=1}^n ku_k=v_k$
Comme $\quad v_1=\ldots =v_{N-1}=0 \quad$ , on en déduit que $\quad u_1=\ldots=u_{N-1}=0$
Mais alors: $3$ \quad 0=-Nu_N+\sum_{ k=0}^{N}ku_k=v_N$
Dans ce cas, $v$ est la suite nulle et $u$ est donc un élément de $\ker(T-N\, {\rm Id})$
Donc: $\quad \ker ((T-N\, {\rm Id})^2) \subset \ker(T-N\, {\rm Id})$

On sait que   $\quad \ker ((T-N\, {\rm Id})) \subset \ker((T-N\, {\rm Id})^2)\quad$ , et donc, on a $\fbox{\quad \ker ((T-N\, {\rm Id})^2)=\ker(T-N\, {\rm Id})}$

Sous-espaces de dimension finie stables par $T$

De la propriété précédente, on déduit que, pour tout $N$ de ${\mathbb N}^{\star}$ , pour tout $k$ de ${\mathbb N}^{\star}$ :
$\quad \ker ((T-N\, {\rm Id})^k)=\ker(T-N\, {\rm Id})$            (la démonstration se fait par récurrence)

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie stable par $T$ . Le polynôme caractéristique $\chi_t$ de la restriction $t$ de $T$ à $F$ est donc scindé. On peut donc écrire, si $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$ désignent l'ensemble des valeurs propres de $t$ :
$3$ \chi_t(X)=\prod_{ k=1}^p (\lambda_k-X)^{\alpha_k}$
En appliquant le théorème de Cayley-Hamilton, le théorème de décomposition des noyaux et le résultat démontré précédemment:
$3$ F= {\ ^p\\ \ \oplus\\ _{k=1}} \ \ker (\lambda_k\, {\rm Id}-t)^{\alpha_k}= {\ ^p\\ \ \oplus\\ _{k=1}}\ \ker (\lambda_k\, {\rm Id}-t)$
On en déduit que $t$ est diagonalisable. Et donc, $F$ est somme de sous-espaces propres de $T$ (si on n'oublie pas que les sous-espaces propres de $T$ sont tous de dimension 1)

La réciproque est évidente.

Citation :
Les sous-espaces de dimension finie stables par $T$ sont les sommes directes de sous-espaces propres de $T$

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