Bonjour

Je réponds à I, parce que je vois plusieurs pistes, comme ça je lance la discussion...

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D'abord sans se prendre la tête, donc

On multiplie la relation donnée par A: Il vient et en multipliant ceci par A+I, , donc et

Soit maintenant k quelconque...
Si , on a
Si , on a
Si , on a
Si , on a
Si , on a
Si , on a

Je viens de le faire à l'écran, j'espère ne pas avoir d'erreur, et je n'ai pas essayé de faire UNE formule qui donne tout ça à la fois!

salut

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I:

après avoir calculer A^k+A^-k pour 1k7

on en arrive à poser A^k+A^-k=u_kI

puis en remarquant que (A^k+A^-k)(A+A^-1)=(A^k+A^-k=A^k+1+A^-k-1)(A^k-1+A^-k+1)

on démontre que u_k+1=u_k-u_k-1 avec u₀=-u₁=1


II:

en notant f l'intégrande alors:

au voisinage de 0 : f0  (équivalent)
au voisinage de : fexp(-x²)< exp(-x) qui est intégrable

donc I(a) existe

on pourrait distinguer le cas a= 0 mais il ne pose pas de pb

pour la 2epartie je ne vois pas encore

Bonjour

Camélia >

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Oui c'est ce que je trouve aussi ! Et une petite récurrence pour démontrer la 6-périodicité.

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On n'écrit pas "équivalent à zéro" (revenir à la définition), par contre je suis d'accord la limite en 0 est bien 0, et d'ailleurs en l'infini également, ce qui suffit pour établir l'existence de l'intégrale.

Un indice pour la seconde partie ?

carpediem >

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Oui même 0 la fonction nulle, on ne peut pas écrire , car par définition .

Pour le I j'ai pas fait comme ça mais ça m'a l'air bon

_{Bon désherbage ! Chez moi il flotte.. la lorraine quoi}

carpediem >

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Bon programme

Pour a<0 c'est direct par parité de I(a).

Salut à tous

C'est faisable dès la sup ?

Salut

Oui olive ça n'utilise que des outils de sup (sauf la justification de l'intégrale mais ça ça prend une ligne et c'est pas le truc intéressant de l'exo).

carpediem >

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Sauf erreur tu n'as pas le droit de faire ce changement de variable, il n'est pas bijectif.

Je n'ai pas fait d'IPP non plus.

Ok

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I) Je me plante si je cherche une expression sous forme de sinus ou cosinus ?

olive >

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Non il n'y a pas de cosinus sinus, et si ta suite représente les différents A^k+A^(-k) revois la car il n'y a pas de 0.

_{Oui j'ai été trop lent par rapport aux torches parisiennes, les résultats je sais pas exactement vers le 10 juin. Pour ces 2 exos aussi j'ai été lent, il m'a fallu presque 2h pour en arriver à bout}

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Garde tout de même ces idées de côté, ça va servir

Kéké >>

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Je pinaille, je pinaille mais ta définition de la relation d'équivalence requiert que la fonction ne s'annule pas au voisinage du point considéré.
En fait, carpediem a raison: être équivalent a 0 au voisinage d'un point, c'est bien être nulle au voisinage de ce point.
La raison est que sinon, 0 n'est pas équivalent à 0 et donc que la relation d'équivalence... n'est pas une relation d'équivalence. C'est assez embêtant (même si dans la pratique on s'en fout).
La "bonne" définition, c'est f~g ssi f=g+o(g) au voisinage du point qu'on considère.

olive >

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Ah oui excuse moi je n'ai pas explicité la solution comme toi, tu as la même méthode que carpedium c'est plus élégant que ce que moi et Camélia avons fait

Le II) est un plus compliqué j'ai trouvé.

Lu' vieux >

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Figure toi que ça m'a effleuré l'esprit, mais comme j'entends encore ma prof de sup nous menacer si on écrit j'ai pas cherché plus loin ^^

Désolé carpediem

olive >

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C'est tout à fait ça

Pour la suite je te laisse réfléchir !

Bonsoir infophile,

Tu as proposé deux exercices intéressants.
Le premier est facile.
Pour le second, tu as eu raison de reprendre carpediem quand il a écrit f(x) équivalent à 0.
En effet, la fonction f ne s'annule que pour x=0 (lorsque a est non nul) et ne peut donc pas être égale à la fonction nulle au voisinage de 0.
En fait f se prolonge par continuité en 0 (par 0 si a non nul, par 1 si a=0), il n'y a donc pas de problème en 0.
En revanche tu as dit une bêtise: le fait que la limite de f en l'infini soit nulle ne sert à rien pour prouver l'existence de l'intégrale.

Une solution de l'exercice:

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Pour a > 0, le changement de variable t=a/x dans l'intégrale de a à + donne la deuxième expression de I(a).
Ensuite, le changement de variable t=x-a/x donne donc pour a réel:

Bonsoir jandri

Eh bien non ! Ce n'est même pas une condition nécessaire

Par exemple si on prend la fonction qui fait des piques de largeur et de hauteur en tout point entier et nulle le reste du temps.

Elle est divergente mais l'aire sous la courbe converge vers 2.

Ca marche comme contre exemple ça ?

Sinon, toujours pas d'idée pour le II. ^^

Bonsoir elhor_abdelali
en effet

(re)bonsoir à tous

j'ai eu un pb d'ordi et je n'ai pu me reconnecter que maintenant

Jandri:-->:

effectivement obtenir 0 par prolongement par continuité et valoir 0 au voisinage n'est pas la même chose....pardon pour le manque de rigueur....

quant à l'existence ceci :

Bonjour

jandri >

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c'est exactement ce que j'ai fait, et merci pour les corrections !

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tu es sûr la bonne voie

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C'est très bien tu fais des progrès à vue d'oeil

jandri >

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Ah non ton changement de variable est beaucoup plus rapide !

olive >

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Tu as fait comme jandri, ça économise 1 ou 2 changements de variables par rapport à ma méthode.

_{En physique faut faire de la physique sale jeune (bon ok pas plus tard qu'hier j'ai fait aussi un exo de maths en physique mais bon )}

quel idiot : j'avais tout sur (mes ouatmilles) feuilles

il me suffisait de casser cette intégrale (alors que je me suis casser le c... (ou les d...) sur elle)

mais bon vu l'heure... enfin j'ai tout trouvé

merci pour cet intéressant exercice

en 5 lignes et en écrivant proprement...!!

Ah oui, avec les changements de variables que tu proposes dans ton corrigé c'est encore autre chose ^^

J'ai passé cet exercice au major de ma classe on va voir comment il s'en sort ( je précise quand même que l'énoncé que je lui est donnée est : "Calculez pour positif ". Il ne voulait pas de la question intermédiaire )

_{( , J'y comprends rien de toute façon ^^, ta encore cours toi ?!?! )}

Oups, oublié le blanké ..