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Personnellement, je trouve que f(x) est équivalent à en et à en 0.
Est-ce correct ?
J'en donnerai une preuve un peu plus tard.

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Tu as du faire deux fautes de calcul car tes deux résultats sont faux.
On peut d'ailleurs remarquer très simplement que xf(x) est compris entre 1/4 et 1/3, ce qui exclut ton équivalent en 0.

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Effectivement, je me suis trompé (des erreurs d'inattention : on va mettre ça sur le compte du matin !! ).
Je rectifie donc mes équivalents :

En : (eh oui, en 0, le cosinus tend vers 1 et non vers 0 !!!)
En 0 : (là, un 2 m'avait échappé !!).

J'écrirai ma preuve dans quelques temps !!

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Je note f la fonction définie par cette intégrale.

Je commence par montrer que f est bien définie pour x> 0.

Pour cela, on remarque que pour tout x, l'intégrande est compris entre 0 et (car le cosinus carré est positif) donc l'intégrande est bien intégrable et donc l'intégrale existe.



Je poursuis avec l'équivalent le plus simple à traiter : celui en
Comme x est non nul, on peut effectuer le changement de variable u=tx dans cet intervalle et on obtient :



Or pour tout u et tout x, on a :

, cette dernière expression étant intégrable et indépendante de x.
De plus, pour tout u, l'intégrande tend vers
donc d'après le théorème de convergence dominée, xf(x)tend vers , c'est-à-dire , donc en f(x) est bien équivalente à .


Je termine avec l'équivalent en 0.
Pour cela, je transforme l'intégrale sous la forme d'une série en découpant l'intégrale en intégrale sur des intervalles de longueur . Plus précisément, on a :




dans chaque intégrale, je pose le changement de variable et on obtient :


(car le cos² est -périodique).

Par suite,

Par convergence dominée, comme décrit plus haut, l'intégrale va converger vers


De plus, est équivalent à donc f(x) est équivalent à où

J'arrête mon post pour le moment. J'en refais un autre pour le calcul effectif de l'intégrale I.

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Pour le calcul de I, j'y suis allé comme une véritable brute en utilisant le changement de variable sans vraiment me poser de question.

On a alors et .

Ainsi,
Or

donc

or

À ce moment vous me dites : "il ne va tout de même pas oser faire une DES" et là je dis oui mais ça va se faire en deux secondes en remarquant une chose : la somme de ces deux facteurs est égale à , c'est-à-dire le numérateur de l'intégrande, donc on a :




Ainsi, f(x) est équivalent à

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Tu aurais du essayer d'abord le changement de variable u=tan(t) (cf règles de Bioche !).

Je n'avais pas pensé à utiliser la propriété remarquable de la fonction exp pour décomposer en une somme d'intégrales sur .
Ma démonstration est moins élémentaire mais reste valable si on remplace exp par n'importe quelle fonction f continue et intégrable sur R+

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Oui, effectivement ça marche bien mais bon comme je disais je suis parti directement sans me poser la moindre question et j'ai eu un peu de chance car je n'ai pas eu à faire de décomposition en éléments simples effective.

Je suis néanmoins intéressé par ta méthode pour résoudre cet exo, méthode qui semble marcher avec d'autres fonctions que la fonction exponentielle selon tes dires.

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Oui, moi aussi, je m'inscris

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Je généralise en considérant avec f continue par morceaux sur I et g -périodique, continue et par morceaux (on généralise aisément à g T-périodique).
On montre que la limite en de h(x) est égale à .

D'abord un lemme (de Lebesgue): la limite en de est égale à 0.
Démonstration: pour tout il existe un segment tel que .
On approche ensuite f sur par une fonction en escalier : d'où .
Enfin, pour .
On a donc pour .

Démonstration de la limite de h(x):
La série de Fourier de g converge normalement donc pour ,
d'où .
En utilisant le lemme on déduit pour x>A.