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Je passe un oral blanc ENS demain, ça m'entrainera

(a^p - b^p)/(a-b) = a^(p-1) + a^(p-2)b + ... + ab^(p-2) + b^(p-1)

Bon clairement si p divise a (ou b) alors il divise a^n et donc b^n (car par hypothèse p divise la différence) donc p divise b, et ainsi il divise tous les termes de la somme ci-dessus.

Maintenant si p ne divise ni a ni b alors d'après p'tit Fermat a^(p-1) = 1 mod p (idem b^(p-1) = 1 mod p)

On a aussi par hypothèse a^p = b^p mod p, donc a = b mod p par Fermat, si bien que a^ib^(p-i-1) = b^(p-1) = 1 mod p.

Donc la somme est congru à p mod p soit à 0 mod p, ce que l'on voulait.

Le plus dur est fait, pour n quelconque ça va tout seul maintenant en le décomposant.

Merci pour la planche

_{Désolé pour le latex, je suis pressé de terminer ce que j'ai à faire pour dormir ^^}

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J'ai peut-être parlé trop vite, je conclue proprement demain

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Supposons que .
Posons avec et (dans la décomposition des facteurs premiers de , séparer ceux qui sont aussi facteurs premiers de et ceux qui ne le sont pas).
- On a donc . D'où .
- D'autre part, et donc d'après le théorème de Gauss, .
- Comme , on en déduit que .

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Il y a une faute dans ta démonstration
L'égalité      n'est pas obligatoirement réalisée.
Par exemple   a=3   b=1   n₁=4

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Oui, tu as raison perroquet

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Bon je reprends ce que moi et blang avons fait

Pour p premier c'est réglé (voir mon premier post)

Si avec et vérifiant chacun la propriété, alors si on a :



Et c'est bien divisible par car il divise le premier terme par hypothèse. De même pour en échangeant les rôles, donc c'est bien divisible par n.

Reste à montrer la propriété pour les puissances de nombres premiers, on le fait par récurrence.

Ok pour la valuation 1 (cf premier post), supposons la propriété vraie pour , si alors on écrit :



par hypothèse de récurrence divise le premier terme.

De plus modulo p on a (car p premier divise les coefficients binomiaux).

Donc p divise a-b et donc aussi donc d'après mon premier post il divise le second terme. Et par suite divise l'ensemble, ce que l'on voulait.

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Après relecture mon premier post est inutile dans la démo précédente, le résultat avec suffit.

Merci pour l'exo !

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Je m'appuie sur le résultat simple suivant :

Lemme : Soit et tels que , alors .

Preuve : On écrit ; on a alors :


Une récurrence immédiate prouve alors :

Proposition : Soit , et tels que , alors .

On déduit ensuite, en notant la multiplicité du facteur premier :

Corollaire : si est un entier premier divisant , alors pour tout , .

Preuve : On a donc d'après la proposition, , ce qui implique que .

On peut maintenant conclure :
Théorème : si , alors  .

Preuve : Il suffit de montrer que si un facteur premier de , alors .
- si , c'est clair d'après le corollaire.
- sinon  .