L'astuce à laquelle j'ai pensé est de faire intervenir une somme télescopique mais (ça marche si on a une suite du type
). Le problème c'est que l'on n'a pas ça. Qu'à cela ne tienne, on va le faire apparaître en changeant de suite.
Comme a est non nul, on peut diviser la relation de récurrence par
et on a :
}{a^{n+1}})
Ainsi, en posant
, on a :
}{a^{n+1}})
Ainsi, en sommant entre 0 et n-1, on a :
}{a^{k+1}}})
Le tout est maintenant de trouver p+1 polynômes tels que cette somme soit calculable (par exemple qui fasse apparaître une somme télescopique) et qui forment une famille libre.
On peut penser à l'indication donnée mais ça donne pas ce que l'on veut. C'est alors que l'on pense aux polynômes de la forme
^m-aX^m})
avec m compris entre 0 et p
Comme a est différent de 1, ce polynôme est de degré exactement m (au passage, ces p+1 polynômes forment une suite échelonnée de polynômes donc elle est libre et donc c'est une base de Rp[X]) et donc et la somme ci-dessus est une somme télescopique.
Au final, on a pour tout n, si P est de cette forme, alors
d'où
.
Ainsi, on peut prendre
et donc la suite définie par
}=n^m})
est un antécédent de
.
Il est assez facile de montrer que la famille constitué de ces p+1 suites et de la suite géométrique de raison a et de premier terme 1 est libre.
Il reste à montrer qu'elle est génératrice :
Soit donc u une suite de
, alors par définition
})
est un polynôme de degré inférieur à p donc s'écrit
=\Bigsum_{m=0}^{p}\lambda_{m}P_m=\Bigsum_{m=0}^{p}\lambda_{m}\phi(u^{(m)}}))
Par linéarité,
})=0})
, donc il existe un réel
tel que pour tout n, on a :
ainsi la famille est génératrice.
Au passage, vous remarquerez que je n'ai pas du tout utilisé que l'espace considéré était de dimension finie (en fait, je ne pense pas qu'utiliser le théorème du rang soit permis car a priori on n'a pas montrer que cet espace était de dimension finie).
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