Salut

J'ai un résultat plus général que celui-ci qui le trivialise... si quelqu'un le souhaite, je peux le mettre ici.

rebonjour!

>perroquet

Suis-je dans la bonne direction?

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Mon idée est de chercher un vecteur propre commun à A,B,C et de poursuivre par récurrence.

Pour cela, soit E  un sous-espace propre de C. Il est stable par A et B. Les restrictions de A et B à E admettent chacune des vecteurs propres. Il m'en faudrait un  qui soit à la fois vecteur propre de A et de B...

Je ne vois pas comment utiliser AB-BA=C..

rerebonjour

j'ai un peu progressé..

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Je cherche donc un vecteur propre commun à A,B,C.

Si AX=aX , BX=bX  alors CX = ABX - BAX = abX - baX = 0. X est donc automatiquement vecteur propre de C (associé à la valeur propre nulle).

Reste à prouver que A et B ont un vecteur propre en commun...

Je crois pouvoir terminer la démo de rogerd >>

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On considère l'endomorphisme induit par A sur ledit espace propre de C. Il admet un vecteur propre. On considère l'espace propre associé et ô miracle il est stable par B du fait de la relation AB-BA=C.
L'endomorphisme b induit par C sur c'te espace propre admet un vecteur propre qui est commun à tout le monde.

Bonjour à tous

> rogerd

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Tu es dans la bonne direction avec ton premier post (mais je ne vois pas comment l'idée du deuxième post peut aboutir).
Si on note a,b,c les restrictions de A,B,C à un sous-espace propre de C, on a:
ab-ba=c.
Et si on prend la trace ...

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Je ne vois pas pourquoi le sous-espace propre de A est stable par B

perroquet >>

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Je me suis en effet, un peu emballé. Ya une stûce en fait: vu qu'on peut définir les endomorphismes induits par A et B sur l'espace propre de C associé à la valeur l, on peut écrire que sur cet espace ab-ba=c. (où a,b et c sont les endomorphismes induits).
Mais alors, 0=tr(c)=(dimension de l'espace propre)*l et donc l=0.
En clair, un peu par magie, C est nilpotent...
C'est pour cela que le sev propre de A est stable par B.

Merci pour vos explications.
Je n'avais pas vu que C est nilpotent.

Voici ladite généralisation, ça provient du dm le moins triviale que j'ai eu à faire de ma vie: (ENS Lyon, Math I, MP 1990). Je le donne sous forme d'exos, parce qu'une démo brute est inbuvable.

Quelques notations-définitions:
- V désigne un C espace vectoriel de dimension finie n.
- F est une partie de L(V) qui vérifie les propriétés suivantes:
i)  F est un sev de L(V);
ii) F est stable par crochet de Lie.
On dira que F est une algèbre de Lie.
- Une partie J de F sera appelé un idéal de F si J est un sev de F tel que pour tout v dans F et u dans L(V), on a [u,v] qui est dans J.
- F sera dit résoluble s'il existe une suite croissante \{0\}=F_0\subset...\subset F_p=F de sev de F tels pour tout entier k, on ait [u,v]\in F_{k-1} dès que u et v sont dans F_k.

On se propose de démontrer le résultat suivant:

Toute algèbre de Lie résoluble est trigonalisable (ie, il existe une base de V qui trigonalise tous les éléments de F).

On commence par un lemme:
Etant donné une forme linéaire l sur un idéal J de F, on considère W le sev de V formé des vecteurs x vérifiant v(x)=l(v)x.
Alors W est stable par F.

Démonstration du lemme:
Soit x dans W et u dans F. On contruit une suite (x_k) en posant x₀=x et pour tout n dans N, x_n+1=u(x_n).
1) Montrez que pour tout k dans N, et tout v dans J, v(x_k)-l(v)x_k appartient au sous-espace engendré par {x₀,...,x_k-1}.
2) En déduire que U=Vect((x_k))est stable par .
3) Etablir une relation entre l([u,v]) et la trace de la restriction à U de [u,v].
4) En déduire le lemme.

Démonstration du théorème:
On prend F une algèbre de Lie.
5) Montrez qu'il existe un idéal J de F de dimension dim(F)-1 et montrez que J est également une algèbre de Lie résoluble.
6) Montrez l'existence d'un vecteur propre commun à tous les éléments de F.
7) Conclure.

Je peux donner des indications si vous le souhaitez. La démonstration n'est pas compliqué, seulement un peu technique, mais en gros on généralise l'idée utilisée dans l'exo donné par perroquet.