Niveau exercices

Officiel de la taupe : planche 27

Posté par
infophile 03-06-10 à 18:21

Bonjour

Je vous propose cette planche de l'X à laquelle je m'attaque :

Citation :
I) a) Etablir que $\sqrt{n}n!\ge \frac{n+1}{e}$ pour $n\ge 1$ .

Soit $(u_n)$ une suite positive telle que $\sum u_n$ converge.

b) On pose $w_n=\Bigsum_{p=1}^{n}pu_p$ , établir que $\sum \frac{w_n}{n(n+1)}$ converge.

c) Si on pose $v_n=\sqrt{n}u_1\cdots u_n$ établir enfin que $\sum v_n$ converge.

II) Soit $S$ et $T$ deux matrices réelles symétriques positives de même taille. Etablir que $Tr(ST)\ge 0$ .

Je n'ai pas encore réfléchi au II), par contre si quelqu'un (qui ne désire pas chercher) pouvait jeter un oeil sur ce que j'ai fait et me débloquer pour la c) ça serait sympa

Cliquez pour afficher

Réponses blanquées svp

Posté par re : Officiel de la taupe : planche 27 03-06-10 à 19:03

Je viens de faire le II) qui est plus simple :

Cliquez pour afficher

Posté par re : Officiel de la taupe : planche 27 03-06-10 à 19:48

Ah si je crois avoir réussi à terminer la c) finalement.

Cliquez pour afficher

Posté par re : Officiel de la taupe : planche 27 03-06-10 à 21:15

salut Kévin

Cliquez pour afficher

Posté par re : Officiel de la taupe : planche 27 03-06-10 à 21:17

carpediem

Cliquez pour afficher

Posté par re : Officiel de la taupe : planche 27 03-06-10 à 21:31

Bonjour Kévin,

Il y a deux fois la même erreur dans l'énoncé du I)
Au a) et au c) il s'agit de racines n-èmes

a) montrer $3$(n!)^{1/n}\ge\frac{n+1}{e}$

c) $3$v_n=(u_1u_2...u_n)^{1/n}$ .

Cet exercice est tiré d'une démonstration de l'inégalité de Carleman.