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Je pose

La première question est claire, non séparable implique donc il existe un vecteur x non nul appartenant à Ker(v) donc par suite est valeur propre.

La deuxième question j'ai mis un petit moment à trouver, en fait j'utilise le résultat suivant (exo de kholle classique) :

On se place dans une base où la matrice de u dans celle-ci est diagonale avec les (comptés avec multiplicité ) sont en "fin de diagonale", dans cette même base v est diagonale avec k zéros en "fin de diagonale", de même pour v². Il est alors clair que rang(v)=rang(v²) et par le théorème du rang Ker(v)=Ker(v²) d'où ce qui montre (via le théorème du rang) que .

Comme le polynôme caractéristique est scindé, en appliquant le lemme des noyaux on a que les sous-espaces caractéristiques sont en sommes directes. Et pour chaque valeur propre on a soit Ker(v)=Ker(v²). Montrons alors que . Hérédité : on sait déjà que , montrons l'inclusion réciproque, soit alors donc soit i.e cqfd.

Je cherche la suite plus tard

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Juste pour préciser, j'ai montré que pour tout k et les sous-espaces caractéristiques en somme directe, donc on a les différents Ker(v) en somme directe et par conséquent u est diagonalisable.

Bon je passe à la suite :

On prend une valeur propre séparable , le polynôme minimal de u est de la forme où Q est un polynôme de degré n-k. D'après le théorème de Cayley Hamilton on a : soit donc le polynôme est annulateur, et par minimalité on en déduit que est racine simple.

Reste à voir réciproquement si les racines simples du polynôme minimal sont séparables... je cherche ça demain.

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J'ai eu le temps d'y réfléchir en cours, pour la réciproque on part de et on applique le théorème de Bézout, la somme directe apparait d'elle-même.

Et pour la dernière question je dirais simplement que P(m) = P(u)ov donc ils ont même polynôme minimal et par la caractérisation précédente même ensemble de scalaires séparables.

Merci pour cette planche