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Existence : Méthode : récurrence sur l'entier n.

Soit la propriété définie pour tout par : le terme est défini.

Initialisation
Clairement, la donnée de montre que

Hérédité
On suppose la propriété de récurrence vraie pour . Montrons que existe bien.

La fonction est continue donc continue par morceaux sur , et de signe constant (celui de donc de )

De plus, la majoration : fournit

Or :
Enfin, le critère de majoration donne la convergence absolue donc la convergence de et donc

Conséquence :

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Calcul des premiers termes ; Conjecture :

Avec Maple, je n'ai pas réussi à calculer les termes sans affecter de valeur à .

> ofdlt:=proc(x0,N)
   x[0]:=evalf(x0):
    for n from 0 to N-1 do
      x[n+1]:=evalf( int( arctan(t*x[n])*exp(-t),t=0..infinity) ):
    od:
  end:

Ce n'est pas très élégant, mais ofdlt(5,50) ou ofdlt(-8,50) permettent de conjecturer :

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Etude de :

Mettons déjà en place les hypothèses du théorème de dérivation sous le signe .

On choisit , intervalles de . Soit

   Soit .

est clairement continue sur
est continue sur ()
est continue sur ()
est continue sur ()



Soit . On montrerait aisément que sont définies, continues par morceaux et intégrables sur J

Hypothèse de domination

Pour , en choisissant intégrables sur à valeurs dans on a bien :



Conséquence : l'application définie par est de classe et




Pour la courbe :

> f:=x->evalf( int( arctan(t*x)*exp(-t),t=0..infinity ));
> plot( f(x),x=-10..10 );

laisse penser que f est impaire et l'allure de sa courbe ressemble à celle de l'arctangente.

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Etude de la suite (x_n)

Remarquons que

Pour réel, : f est strictement croissante.

De plus, l'étude du signe de f" sur IR₊ et IR_- permet de dire que f est convexe sur IR_- et concave sur IR₊.

La pente à l'origine vaut (par IPP .. ou Maple )

En conséquence, est du signe de

alors pour tout entier n, et est du signe de donc de donc négatif ;
ie est décroissante.
Décroissante et minorée par 0, la suite converge vers

Même raisonnement pour ; on obtient : croissante et majorée par 0, la suite converge vers

Enfin, le seul réel L vérifiant f(L)=L est 0 (cf étude de la courbe)

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Pour n entier,

Idée : encadrer finement Arctan(xt)

Déjà, notre alpha sera négatif car sinon la limite est nulle. J'avais trouvé alpha=2 en me trompant ..

Pour tout

donne :

soit, en calculant les intégrales avec Maple :

Ainsi, où

et en retranchant :

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Je n'ai pas eu le temps de tout lire, je n'ai pas l'ADSL là où je suis

Pour la dernière question, il est judicieux d'utiliser un DL d'ordre 3 de f(x) en 0, sachant que

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A vrai dire je ne vois pas quoi faire, je pensais avoir fait le DL que tu me conseilles dans le post du 17-02-09 à 12:28

A défaut de faire des planches difficiles, j'essaie de soigner la rédaction ..

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d'où . En choisissant a=-2 on obtient que la limite de est égale à 4.
On applique ensuite le théorème de Césaro.

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Mais je suis trop bête, j'ai marqué au brouillon x^a*x^b = x^ab sans que ça ne me choque

Effectivement, en prenant a=-2 j'obtenais 4 comme limite ! (avant que je ne refasse les calculs, pour me tromper ensuite)

C'est où qu'on s'inscrit pour faire parti du fan_club_de_jandri ? J'ai relu cet après-midi tes premiers posts ici ... je suis encore bluffé ! Vraiment, j'ai jamais vu ça.

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Via Cesàro (HP d'ailleurs, c'est bête) on trouve

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On démontre que la suite est bien définie

Pour montrer que la suite est bien définie, il suffit de montrer que est définie sur . Pour cela, on remarque que est continue sur et intégrable sur puisque négligeable au voisinage de devant .

Calcul des 50 premiers termes à l'aide de Maple

> f:=x->evalf(int(arctan(x*t)*exp(-t),t=0..infinity));y[0]:=1.0;for i to 50 do y[i]:=f(y[i-1]);od;

On n'affichera pas ici les résultats donnés par Maple.
On peut conjecturer que la suite converge vers 0. On peut aussi conjecturer qu'on va trouver un équivalent de indépendant de la valeur de départ.

On montre que la fonction est de classe

On remarque que avec
      Pour tout de , est continue par morceaux sur et intégrable sur (déjà vu)
       existent sur , avec
      
      Pour et pour tout de , est continue sur
      Pour et pour tout de , est continue par morceaux  sur
      Pour tout de , on a, sachant que :
        
      Les applications , , sont continues par morceaux et intégrables sur

On déduit du théorème de dérivation d'une intégrale dépendant d'un paramètre que est de classe sur .

Pour tracer la courbe sur Maple:
> plot(f(x),x=-10..10)
On ne donnera pas le résultat maple.

Etude de la suite

On commence par étudier le cas .

Tout d'abord, on vérifie facilement que est impaire et que est positive sur . Donc, est positive sur . On en déduit que si est positif, alors, pour tout , .
Ensuite, on remarque que, pour :

Donc, pour :
Donc:
La suite est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente vers une limite telle que (puisque est continue). Or, le seul réel de tel que est



étant impaire:



Recherche d'un équivalent de lorsque

On sait d'après l'étude précédente que est une suite à termes réels strictement positifs, de limite 0.
On a:
Donc:
Or, au voisinage de , en utilisant un développement limité de à l'ordre 3 au voisinage de 0:

Donc:
Et, en appliquant le théorème de Césaro:

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Je trouve _{sauf erreur bien entendu}

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Un changement de variable et une IPP donnent :

d'où :

les encadrements (faciles à établir) : donnent alors

et on voit clairemant que : et que _{sauf erreur bien entendu}



remarque : Sauf erreur de ma part on peut montrer que est solution sur de l'équation différentielle linéaire du second ordre (à coefficients non constants) :

équation qui n'admet pas de solutions développables en série entière au voisinage de

on montre en effet assez facilement que si est solution sur alors

ce qui est absurde vu que la série entière obtenue est de rayon de convergence nul

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De on déduit avec .
On en déduit: avec .
Si f possédait un DSE en 0, les coefficients seraient les et le rayon de convergence serait nul: contradiction.

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.
Ensuite (par parties).
et au voisinage de + (par exemple avec le théorème de convergence dominée).
Avec le résultat "connu" exprimant la constante d'Euler avec des intégrales on a obtenu:

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En posant on a pour x>0 (avec ).