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1) On obtient facilement d'où .
Ainsi et convergent vers 0 donc et aussi.

2) On a et pour assez grand on a . Pour , on a donc .
D'après Bolzano-Weierstrass, la suite (par exemple) possède une valeur d'adhérence . Montrons que celle-ci est forcément nulle.
En appliquant à nouveau Bolzano-Weierstrass en composant petit à petit les extractrices, il est facile de fabriquer trois sous-suites convergentes , et de  , et avec , et . Notons et
On a et donc la fonction   est telle que . Or une étude de prouve qu'elle possède un minimum en , égal à . On a par conséquent . Mais une étude de prouve qu'elle possède un minimum (atteint une seule fois) en 0 égal à 3. Forcément .
Les suites bornées , et   possédant 0 pour unique valeur d'adhérence, elles convergent toutes les trois vers 0.

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Je voulais écrire et .

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salut,

jai fais comme toi exactement par contre je reste bloqué à la ligne disant que an bn et cn on peut unique valeure d'adherence 0, mais je ne peut pas en conclure qu'elles convergent comme ca .

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Une suite bornée qui possède une unique valeur d'adhérence est forcément convergente.

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mdr c'est triste d'avoir loupé cette banalité

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Je l'écris pour 3 suites mais c'est la même chose pour k suites.
Soit et .
De on déduit .
On déduit des hypothèses que la suite converge vers 3, donc la suite converge vers 1.
L'étude de la fonction donne immédiatement que la suite converge vers 0.
Même démonstration pour les suites et .

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C'est toujours un régal de lire tes démonstrations !

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J'aimerais avoir des terminales capables de faire ce genre de démonstration (surtout pour la dernière étape "immédiate")

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J'ai voulu dire que la démonstration n'utilisait que des connaissances niveau terminale, pas qu'un élève de terminale serait capable de la trouver tout seul.
La dernière étape est "immédiate" si on trace la représentation graphique de la fonction continue : est équivalent à .

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Ta solution est simple et limpide et effectivement compréhensible par un bon élève de terminale. Je faisais juste mon ronchon (ça revient avec ma sciatique les jours de pluie) : Mon dieu, le niveau baisse... c'était mieux avant... mes élèves sont de plus en plus nuls... etc.

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Cas deux suites :

Si alors .

De plus, et , c'est-à-dire, .

Donc tend vers et a la même limite.



Cas de suites :

L'inégalité arithmético-géométrique donne on est donc dans le cas d'égalité, c'est-à-dire que nos suites convergent vers une même limite.

Comme on en déduit que les suites convergents vers 0.

Merci pour la planche.

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- Cas de 2 suites : à mon avis, ta rédaction n'est pas correcte.

- Cas de k suites : je suppose que tu voulais écrire au centre .
Mais le "on est donc dans le cas d'égalité" demande vraiment à être détaillé. Comment sais-tu que les suites convergent ?

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Tu ne démontres pas les résultats demandés.
Pour le 1):
D'abord on n'écrit pas mais .
Ensuite, o(1) désigne une suite qui converge vers 0.
De on ne peut pas déduire directement car .

Pour le 2):
Tu ne démontres rien avec l'inégalité arithmético-géométrique puisque tu ne sais pas que les trois suites convergent. Si tu peux démontrer qu'elles convergent alors tu auras bien l'égalité de leurs limites.

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1. Ok merci pour la notation, j'ai mélangé les deux.

Mais on peut prendre les mêmes pour les deux suites puisque se comporte de la même manière que non  ?

2. Ah oui ^^'

Bon tant pis. Bonne journée.

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Ce n'est pas aussi simple. Si tu écris , tu dois d'abord montrer que la suite est bornée avant de pouvoir obtenir que tend vers 1.