Officiel de la Taupe: planche 57-1

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Officiel de la Taupe: planche 57-1
Posté par 
perroquet  18-02-09 à 21:32
Bonjour.

Un exercice sur les complexes (Centrale option PC) qu'un élève de Terminale S pourrait résoudre. Mais si un lycéen trouve la solution de cet exercice, je lui prédis un bel avenir ... mathématique.

Citation :

Montrer que    

Soit     et    les racines de   

Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que   

 Posté par 
gui_toure : Officiel de la Taupe: planche 57-1  18-02-09 à 22:31
(Re) Bonsoir perroquet ,

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 Première égalité :

Je n'ai pas trouvé de solution élégante ... je me suis senti obligé de poser  (la notation n'est pas heureuse mais je n'ai pas trouvé mieux)

[ .. ] > J'avais commencé à rédiger la démo mais je me suis souvenu que c'était une planche Centrale, donc avec Maple (sauf erreur ..) !

> restart;

> assume(a1,real);assume(b1,real);assume(a2,real);assume(b2,real);

> u:=a1+I*b1;v:=a2+I*b2;

                           u := a1~ + b1~ I

                           v := a2~ + b2~ I

simplify( ( abs(u)^2 - abs(v)^2 )^2 +4*abs(u*v)^2-1/4*(abs(u+v)^2+abs(u-v)^2)^2 );

                                  0

Donc on a bien : 

 Condition nécessaire et suffisante :

Le discriminant de l'équation est . Notons  le complexe vérifiant 

Alors 

Notre condition s'énonce alors :  (car les 2 nombres sont positifs)

Je fais une pause et je regarde comment me servir de la première question !

Merci encore pour ces exos!
 Posté par 
jandri re : Officiel de la Taupe: planche 57-1  18-02-09 à 23:00
gui_tou, tu exagères un peu d'utiliser maple pour montrer la première égalité:

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Elle est équivalente à  soit encore à  qui est vérifié en développant  et idem pour u-v.

 Posté par 
elhor_abdelali re : Officiel de la Taupe: planche 57-1  18-02-09 à 23:47
Bonjour ;

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C'est l'identité du parallélogramme  je me demande si elle est au programme de Terminale S en france 
 Posté par 
matovitchre : Officiel de la Taupe: planche 57-1  19-02-09 à 11:35
je poursuit :

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Donc  et  réels ou imaginaires purs...

Ainsi,  doit être réel...correct ?

 Posté par 
matovitchre : Officiel de la Taupe: planche 57-1  19-02-09 à 11:37
Bonjour au fait ! 
 Posté par 
matovitchre : Officiel de la Taupe: planche 57-1  19-02-09 à 12:15
Mauvaises conclusions :

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Donc  et  réels ou imaginaires purs ou 

Donc, les racines ont le même module si b=0 ou  réel.

 Posté par 
matovitchre : Officiel de la Taupe: planche 57-1  19-02-09 à 12:20
Non, j'ai dit une énorme bêtise. 
 Posté par 
simon92re : Officiel de la Taupe: planche 57-1  19-02-09 à 12:56
bonjour,

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bon d'abord: or 

Donc 

je regarde un peu la suite
 Posté par 
simon92re : Officiel de la Taupe: planche 57-1  19-02-09 à 13:09

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heu, je jette une idée en vrac, je vais bientot devoir y aller, je reviens ce soir (normalement).

on a 

Si on suppose que 

on a des réels ,  et  tels que:

 et 

et 

on remarque d'ailleurs que

 est un réel positif, donc je pense que la condition nécéssaire et suffisante, c'est que  ou un truc comme ca, bien sur j'ai pas montré la réciproque, la partie la plus difficile j'imagine, mais j'ai l'impression que ca marche.

J'essaye de reposter ce soir.
 Posté par 
matovitchre : Officiel de la Taupe: planche 57-1  19-02-09 à 13:43
Erreur de calcul :

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Donc si ,  et si ,  sauf erreur.

 Posté par 
matovitchre : Officiel de la Taupe: planche 57-1  19-02-09 à 13:58
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Plutôt : si  et si .
 Posté par 
elhor_abdelali re : Officiel de la Taupe: planche 57-1  19-02-09 à 21:11
Bonjour ;

je trouve comme  :

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 ou bien   sauf erreur bien entendu
 Posté par 
matovitchre : Officiel de la Taupe: planche 57-1  20-02-09 à 08:04
Encore quelque chose 

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 ou  ou 

Le plus difficile est de trouver la condition, il faut être organisé !

J'espère ma réponse définitive.
 Posté par 
perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 57-1  20-02-09 à 16:45
Bonjour à tous 

> elhor

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En France, nous avons au niveau du lycée (1ère S, je pense) le théorème de la médiane: Si I est le milieu de [B,C], alors:  

Ce théorème est équivalent à l'identité du parallélogramme.

Je trouve dommage que nous n'ayons pas la même version en lycée et en prépa ...

> matovitch
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Ta démonstration est correcte jusqu'à l'égalité    .

Mais ensuite, on peut seulement en déduire que   est imaginaire pur (et, en élevant au carré, on obtient un réel négatif ou nul ...)

> simon92
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Ton idée est correcte, même si elle n'utilise pas la première question. Mais, comme tu le remarques toi-même, ta démonstration manque de rigueur. 

Et la condition nécessaire et suffisante n'apparait pas clairement.

 Posté par 
matovitchre : Officiel de la Taupe: planche 57-1  20-02-09 à 17:03
perroquet >>

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En mettent sous forme algébrique j'ai : 

Donc, si  et donc 

si , et donc 

si , et donc 

et si , donc une seule racine, le problème ne se pose pas.

C'est ainsi que j'ai raisonné et ça me semble correct.

 Posté par 
matovitchre : Officiel de la Taupe: planche 57-1  20-02-09 à 17:50
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non ! Je viens de m'apercevoir de mon erreur ! La somme des termes est égale à 0 et pas chacun des termes.

Je résume:

Sauf nouvelle erreur 

 Posté par 
perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 57-1  22-02-09 à 17:14
>  matovitch

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La solution est maintenant toute proche.

Mais il y a encore des petits détails.

Il faut étudier le cas   a=0  à part.

De plus, le carré de     ne doit pas être un réel, mais un réel négatif ou nul.

 Posté par 
matovitchre : Officiel de la Taupe: planche 57-1  23-02-09 à 18:58
En effet (il y a des erreurs dans mon calcul en plus).

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Bon, vu que blanké ça ne prend pas trop de place je re-résume :

Pourquoi faut-il traiter le cas de  séparément... 

 Posté par 
perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 57-1  25-02-09 à 15:49
Bonjour

Voici une solution de l'exercice.

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On rappelle l'identité du parallélogramme: pour tous vecteurs  et  d'un espace euclidien :

On a donc, pour tout  de :

 et  sont les deux racines de . D'après l'égalité établie précédemment,  si et seulement si: 

donc si et seulement si:  
donc si et seulement si:  
donc si et seulement si:  
donc si et seulement si:   ou       (cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire)  

donc si et seulement si:

Citation :
 ou  est un réel appartenant à 

 Posté par 
jandri re : Officiel de la Taupe: planche 57-1  25-02-09 à 22:24
Bonjour perroquet,

Tu as donné une belle solution très courte.

Je posais cet exercice (sans la première question) quand j'enseignais en math-sup.

On peut en fait demander une CNS pour:

1) 

2) 

3) 

Voici une solution pour chaque cas en posant  et  avec  (je suppose b0):

1) 
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  a=0 ou   a=0 ou   a=0 ou   a=0 ou 

2)  Cliquez pour afficher
.

3)  Cliquez pour afficher
a=0 ou a=0 ou a=0 ou .

 Posté par 
infophilere : Officiel de la Taupe: planche 57-1  26-02-09 à 19:46
Bonjour jandri,

Tu enseignes à quel niveau maintenant ?

 Posté par 
jandri re : Officiel de la Taupe: planche 57-1  26-02-09 à 21:17
Bonjour infophile,

Tu ne seras pas surpris, je suis passé en spé! (plus précisément, en filière PC).
 Posté par 
gui_toure : Officiel de la Taupe: planche 57-1  26-02-09 à 21:36
La meilleure filière imaginable 
  Posté par 
jandri re : Officiel de la Taupe: planche 57-1  05-03-09 à 21:02
Bonjour,

J'ai fait une erreur dans mon post du  25-02-09 à 22:24.

Au 3) il faut remplacer  par .