Cliquez pour afficher

Comme A²=B²=I_n, alors on peut dire trois choses :
1) A et B sont inversibles
2) A et B sont diagonalisables (car annulés par le polynôme X²-1 scindé à racines simples)
3) les spectres respectifs de A et B sont à valeurs dans {-1;1}

Comme AB=-BA, et que A est inversible alors on a aussi ABA^-1=-B
donc B et -B sont semblables. En particulier, B et -B ont même trace, donc Tr(B)=0.
Comme son spectre est inclus dans {-1;1}, alors Tr(B)=p-q où p et q sont les multiplicités respectives des valeurs propres 1 et -1.
Comme Tr(B)=0, alors p=q et n=p+q=2p, donc B est semblable à la matrice diagonale dont les p premiers coefficients diagonaux valent 1 et les p suivants valent -1.

Par le même raisonnement, A est semblable à cette matrice et donc A et B sont semblables.

 Cliquez pour afficher

Ta solution est plus élégante que la mienne.
Je ne pense pas assez à utiliser les propriétés de la trace lorsque le nombre de valeurs propres est petit ...

 Cliquez pour afficher

Je dois avouer, au départ, au je voulais dire que, comme B et -B sont semblables, alors les valeurs propres comptées avec multiplicités étant dans l'ensemble invariantes par opposé et que donc etc, mais je ne me trouvais assez précis.

Merci pour l'exercice

 Cliquez pour afficher

j'avais trouvé une solution de l'exercice première version,solution pas aussi élégante que celle de kaiser mais je pense que c'est correct :je montre que pour la matrice A et même chose pour B par contre je n'arrive pas à conclure avec les hypothèses affaiblies proposées par Jandry
>>perroquet merci pour cet exercice

 Cliquez pour afficher

Avec les hypothèses affaiblies, ce que tu as montré pour 1 et -1 tu peux le montrer pour chaque valeur propre de A.
De B²=A² on déduit alors que A et B sont semblables à la même matrice diagonale.

 Cliquez pour afficher

c'est bien ce que j'ai essayé de faire :j'ai montré que si est valeur propre pour A-est valeur propre pour A et et- sont valeurs propres pour B
pour montrer l'égalité des dimensions de et j'avais utilisé le fait que les matrices étaient inversibles mais on ne le sait plus
je rechercherai demain

 Cliquez pour afficher

On a mieux que A inversible, A est diagonalisable.