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Officiel de la Taupe: planche 59

Posté par
perroquet 31-05-10 à 22:43

Bonjour.

Pour ce soir, une planche posée à Centrale (MP).
Un bon étudiant de Terminale pourrait la faire.
Donc, olive_68 peut s'y attaquer (c'est un petit clin d'oeil, en réponse à une intervention dans la planche 901).

Citation :

Soit $(a_n)$ la suite définie par :

$a_0=3 \quad a_1=\frac{ 7}{3} \qquad \forall n \in {\mathbb N} \quad a_{n+2}=8-\frac{ 17}{a_{n+1}}+\frac{ 10}{a_na_{n+1}}$

1) Calculer à l'aide du logiciel informatique les $a_k$ pour $3 \leq k\leq 8$ .

Montrer que $\quad a_n=\frac{ 2^{n+2}-1}{2^{n+1}-1}\quad$ .
On en déduit donc que $\quad \lim_{}a_n=2$ .

2) Calculer à l'aide du logiciel informatique les valeurs approchées des $a_k$ pour $3 \leq k \leq 50$ , par exemple avec l'approximation utilisée par le logiciel ( à $10^{-10}$ près).
Que constate-t-on?

3) Nous allons expliquer dans cette 3ème question le phénomène mis en évidence à la question précédente. On pose cette fois-ci $a_0 = 3$ et $a_1 = \lambda$ . On définit une nouvelle suite $(w_n)$ définie par :

$w_0=1\quad\forall n \in {\mathbb N}^{\star} \quad w_{n+1}=w_na_n$

a) Etablir une relation de récurrence, notée $(E)$ , entre $w_{n+3} , w_{n+2} , w_{n+1}$ et $w_n$ .
b) Trouver les suites géométriques solutions de $(E)$ .
c) A l'aide du logiciel, déterminer $w_n$ puis $a_n$ , en fonction de $n$ et $\lambda$ .
d) Discuter la limite de $(a_n)$ suivant la valeur de $\lambda$ . Conclure.

NB: la formulation est légèrement différente de celle de l'Officiel de la Taupe. C'est celle que m'a fournie l'un de mes étudiants.

Posté par re : Officiel de la Taupe: planche 59 01-06-10 à 17:38

Bonjour

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Posté par re : Officiel de la Taupe: planche 59 01-06-10 à 20:26

infophile

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Posté par re : Officiel de la Taupe: planche 59 05-06-10 à 03:41

Salut

1. Montrons le par récurrence avec prédécesseurs, (je rédige pas trop)

L'initialisation est clair, $3$a_0 \, = \, 3$ et $3$\fr{2^{2}-1}{2^1-1} \, = \, 3$ donc on a $3$P_0$

Supposons $3$P_0,P_1,...,P_n$ pour un $3$n$ fixé, montrons $3$P_{n+1}$ :

$3$a_{n+1} \, = \, 8-17\fr{2^{n+1}-1}{2^{n+2}-1}+10\times \fr{2^n-1}{2^{n+2}-1} \, = \, \fr{8\times 2^{n+2}-8-17\times 2^{n+1}+10\times 2^n-10+17}{2^{n+2}-1} \, = \, \fr{2^n(32-34+10)-8+17-10}{2^{n+2}-1} \, = \, \fr{2^{n+3}-1}{2^{n+2}-1}$ .

D'où $3$P_{n+1}$ , qui est héréditaire.

Par récurrence ...

2. Je sais pas, j'ai pas maple. ( et pour les premières valeurs que j'ai pu calculer, je ne remarque rien)

3. a) $3$a_n \, = \, \fr{w_{n+1}}{w_n}$ , on remplace dans la relation qui définie la suite $3$(a_n)$ et on obtient,

           $3$w_{n+3} \, = \, 8w_{n+2} -17w_{n+1}+10w_n$

b) On a $3$w_{n+3}-8w_{n+2}+17w_{n+1}-10w_n \, = \, 0$ .

L'équation associé $3$X^3-8X^2+17X-10 \, = \, 0$ à $3$1$ pour racine évidente, on en déduit la factorisation   $3$(X-1)(X-2)(X-5) \, = \, 0$

Nous avons donc les solutions géométriques $3$(1)_{n\in \bb{N$ ,   $3$(2^n)_{n\in \bb{N$ et $3$(5^n)_{n\in \bb{N$ .

c) $3$a_{n} \, = \, \fr{\alpha+\beta2^{n+1}+\gamma 5^{n+1}}{\alpha+\beta^{2^n}+\gamma 5^n}$ et $3$a_0 \, = \, \fr{\alpha+2\beta+5\gamma}{\alpha+\beta+\gamma} \, = \, 3$ .

D'où la première équation $3$-2\alpha -\beta+2\gamma \, = 0$

$3$a_1 \, = \, \fr{\alpha+4\beta+25\gamma}{\alpha+2\beta+5\gamma} \, = \, \lambda$ .

D'où la seconde, $3$(1-\lambda)\alpha +2(2 -\lambda)\beta+5(5-\lambda)\gamma \, = \, 0$

$3$w_0 \, = \, \alpha+\beta+\gamma \, = 1$ qui m'en donne une troisième.

La première et la troisième donne $3$\alpha = \, 3\gamma$ .

l

Posté par re : Officiel de la Taupe: planche 59 05-06-10 à 04:06

Désolé j'ai appuyé sur la touche "tab" au lieu du a puis sur entrer .. Quelqu'un pourrait-il blanquer si il a le temps svp ?

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Posté par re : Officiel de la Taupe: planche 59 07-06-10 à 18:39

Bonjour.

Si vous voulez un corrigé complet (avec, en particulier, la syntaxe Maple, pour les questions 1 et 2), voici un lien vers la solution que j'ai rédigée.