Existence de )
Soit
et
deux éléments de
![\mathbb R[X]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\mathbb R[X])
.
Q(t)}{\sqrt{ 1-t^2}} \quad )
est continue sur
![]-1,1[](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?]-1,1[)
Q(t))
est continue sur
![[-1,1]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?[-1,1])
, donc bornée sur
, et il existe donc
tel que:
![\forall t \in ]-1,1[ \quad \frac{ P(t)Q(t)}{\sqrt{ 1-t^2}} \leq \frac{ M}{\sqrt{ 1-t^2}}](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\forall t \in ]-1,1[ \quad \frac{ P(t)Q(t)}{\sqrt{ 1-t^2}} \leq \frac{ M}{\sqrt{ 1-t^2}})
est continue sur
et intégrable sur
parce que:
au voisinage de t=1
^{1/2}} \quad )
et au voisinage de t=-1
^{1/2}})
On en déduit l'intégrabilité de
Q(t)}{\sqrt{ 1-t^2}}\quad )
sur
et donc l'existence de
.
Produit scalaire
Par linéarité de l'intégrale et commutativité de la multiplication dans
,
\rightarrow (P|Q) \quad )
est bilinéaire symétrique.
De plus:
![3$ \quad \forall P \in {\mathbb R}[X] \quad (P|P)=\int_{-1}^1 \frac{ (P(t))^2}{\sqrt{ 1-t^2}} \geq 0](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$ \quad \forall P \in {\mathbb R}[X] \quad (P|P)=\int_{-1}^1 \frac{ (P(t))^2}{\sqrt{ 1-t^2}} \geq 0)
Enfin, supposons l'existence de
![P \in {\mathbb R}[X]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?P \in {\mathbb R}[X])
tel que
=0)
. Puisque
)^2}{\sqrt{ 1-t^2}} \quad )
est continue positive, on a:
![\forall t \in ]-1,1[ \quad \frac{ (P(t))^2}{\sqrt{ 1-t^2}}=0](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\forall t \in ]-1,1[ \quad \frac{ (P(t))^2}{\sqrt{ 1-t^2}}=0)
On en déduit que
est le polynôme nul, puisqu'il a une infinité de racines
Donc,
 \rightarrow (P|Q) \quad )
est bien un produit scalaire.
Procédure permettant de calculer le produit scalaire
> scal:=proc(P,Q);
int(P*Q/sqrt(1-t^2),t=-1..1);
end;
Existence et unicité de la suite )
Soit
. On munit
![{\mathbb R}_n[X]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?{\mathbb R}_n[X])
du produit scalaire induit par le produit scalaire défini précédemment. Dans cet espace,
![{\mathbb R}_{n-1}[X]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?{\mathbb R}_{n-1}[X])
est un hyperplan et son orthogonal est une droite vectorielle
. On définit
comme étant l'unique polynôme unitaire engendrant
.
est de degré inférieur ou égal à n, puisqu'il est dans
et il ne peut pas être de degré strictement inférieur à n, puisqu'il serait orthogonal à lui-même et donc le polynôme nul, ce qui est impossible.
Pour
,
est un élément de
et on a donc:
=0)
Pour
:
=(P_m|P_n)=0)
On en déduit l'existence de la suite
.
Supposons maintenant l'existence d'une suite de polynômes
de degré n, unitaires, orthogonaux 2 à 2. Alors,
. Soit
:
_{0 \leq k \leq n-1})
est une base de
puisque, pour tout
de
=k)
.
est donc orthogonal à
est un élément de
On en déduit avec les notations précédentes que
est un élément de
, et donc l'unique polynôme unitaire appartenant à
. Ce qui établit l'unicité de
Procédure Maple permattant de calculer
> P:=proc(n) local a,Q,s; Commentaires :
Q:=t^n+sum(a[k]*t^k,k=0..n-1); on crée un polynôme unitaire de degré n
s:=solve({seq(scal(Q,t^k)=0,k=0..n-1)}); ce polynôme doit être orthogonal
assign(s); à tous les polynômes de degré inférieur
sum(a[k]*t^k,k=0..n-1)+t^n; sortie du polynôme trouvé
end;
Exécution de la procédure:
> for n to 5 do Q[n]:=P(n);od;
Q[1] := t
Q[2] := t^2 - 1/2
Q[3] := t^3 - 3/4 t
Q[4] := t^4 + 1/8 - t^2
Q[5] := t^5 + 5/16 t - 5/4 t^3
Tracés demandés
> plot({seq(Q[n],n=1..5)},t=-1..1);
On n'affichera pas ici le tracé des courbes représentatives.
Démonstration du fait que les polynômes sont scindés ...
Supposons par l'absurde qu'il existe un entier
tel que
ne soit pas scindé à racines simples sur
s'annule en changeant de signe au moins une fois sur
. En effet, si ce n'était pas le cas, on aurait:
=\int_{-1}^1 \frac{ P_n(t)}{\sqrt{ 1-t^2}}\, {\rm d} t \neq 0)
(intégrale d'une fonction continue, non nulle, intégrable sur
, gardant un signe constant sur
)
Notons maintenant
la liste des éléments de
en lesquels
s'annule et change de signe sur
.
Puisque
n'est pas scindé à racines simples sur
, on a
. Le polynôme
\quad )
est donc un élément de
![\mathbb R_{n-1}[X]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\mathbb R_{n-1}[X])
.
Donc
=0)
garde un signe constant sur
. Donc, puisque
Q(t)}{\sqrt{ 1-t^2}}\quad )
est une fonction continue, non nulle, gardant un signe constant sur
, intégrable sur
:
=\int_{-1}^1 \frac{ P_n(t)Q(t)}{\sqrt{ 1-t^2}} \, {\rm d} t \neq 0)
On arrive donc à une contradiction
Citation :
D'où le résultat demandé par l'énoncé
=\int_{-1}^1 \frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}\, dt)
définit un produit scalaire sur =0)
.
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