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Officiel de la Taupe: planche 86-2

Posté par
perroquet 27-02-09 à 10:18

Bonjour

Un exercice sur les fonctions de plusieurs variables, posé aux Mines (option MP)

Citation :

Etudier la continuité et le caractère $C^1$ sur ${\mathbb R}^2$ de $f$ définie par:
$f(0,0)=0$ et $3$ f(x,y)=\frac{\sin (xy)}{|x|+|y|}$ si $(x,y)\neq (0,0)$ .

Petite remarque en passant: les planches 86 et 97 sont identiques.

Attention : un correctif a été apporté par le message ci-dessous du 7 mars 2009 à 17 h 36

Posté par

infophilere : Officiel de la Taupe: planche 86-2 27-02-09 à 15:44

Bonjour ;

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On peut écrire $3$ \blue \fbox{|f(x,y)|\le \frac{|xy|}{|x|+|y|}=|x|\frac{|y|}{|x|+|y|}\le |x|\to 0}$ . Donc $3$ f$ est continue en $(0,0)$ .

Posté par

infophilere : Officiel de la Taupe: planche 86-2 27-02-09 à 16:39

Je poursuis :

Cliquez pour afficher

La valeur absolue étant un peu gênante, on se place à chaque fois sur un quart de plan.

Donc en fonction des cas on peut noter $3$ \fbox{f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{\epsilon x+\epsilon'(x)}}$ avec $3$ \{\epsilon=\pm 1\\\epsilon'=\pm 1$ .

On se place sur chaque ouvert correspondant et on a $3$ \red \fbox{\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y\cos(xy)}{\epsilon x+\epsilon'y}-\frac{\epsilon \sin(xy)}{(\epsilon x+\epsilon'y)^2}}$ continue sur ceux-ci.

Il ne reste plus qu'à vérifier l'existence de dérivée partielle sur les axes (privé de l'origine).

$3$ \blue \fbox{\frac{f(x,a)-f(0,a)}{x}=\frac{\sin(ax)}{x}\times \frac{1}{|x|+|a|}\to \frac{a}{|a|}}$ .

Et la symétrie des rôles joués par x et y nous dispense d'aller plus loin.

Les dérivées partielles sont continues sur $3$ \mathbb{R}-\{0,0\}$ donc $3$ f$ y est $3$ \mathcal{C}_1$ .

Posté par

perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 86-2 01-03-09 à 00:13

Bonsoir, kévin

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D'accord pour la continuité sur R² et le caractère C¹ sur R²-{(0,0)} (même si la continuité n'est pas démontrée sur les axes (Ox) et (Oy), ce qui a été écrit permet de la démontrer facilement).
Il ne reste plus qu'à étudier ce qui se passe en (0,0). Il est vrai que la réponse est immédiate à partir de ce que tu as trouvé.

Posté par

perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 86-2 07-03-09 à 16:01

Bonjour

Voici une solution de l'exercice

Cliquez pour afficher

Continuité

$f$ est continue sur $\quad {\mathbb R}^2 \setminus\{(0,0)\}\quad$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas.

De plus, on sait que $\quad \forall t \in {\mathbb R} \quad |\sin(t)| \leq |t| \quad$ Donc:
$\forall (x,y) \in {\mathbb R}^2 \setminus \{(0,0)\} \quad |f(x,y)|\leq \frac{ |xy|}{|x|+|y|} \leq \max(|x|,|y|)$
On en déduit que $3$ \quad \lim_{ (x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=0$

Citation :
Donc, $f$ est continue sur $\mathbb R^2$

Classe $C^1$

$x$ et $y$ jouant des rôles symétriques, il suffit d'étudier l'existence et la continuité de la dérivée partielle $\frac{ \partial f}{\partial x}$

Par les théorèmes généraux $\frac{ \partial f}{\partial x}$ existe et est continue en tout point de   $\quad \mathbb R^{\star}\times \mathbb R \quad$ , avec :
$\frac{ \partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{ y \cos(xy)}{|x|+|y|}-\frac{ \sin(xy)}{(x+|y|)^2} \quad$    si   $(x,y) \in ]0,+\infty[ \times\mathbb R$
$\frac{ \partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{ y \cos(xy)}{|x|+|y|}+\frac{ \sin(xy)}{(-x+|y|)^2} \quad$    si   $(x,y) \in ]-\infty ,0[\times\mathbb R$

De plus, pour $y \neq 0$ :
$3$ \frac{ \partial f}{\partial x}(0,y)=\lim_{ t \rightarrow 0}\frac{ f(t,y)-f(0,y)}{t}=\lim_{ t \rightarrow 0}\frac{ \sin(ty)}{t(|t|+|y|)}=\frac{ y}{|y|}$
On vérifie facilement que pour tout a non nul   $3$ \quad \lim_{ (x,y) \rightarrow (0,a)}\frac{ \partial f}{\partial x}(x,y)= \frac{ a}{|a|}=\frac{ \partial f}{\partial x}(a,0)$
Donc, $\frac{ \partial f}{\partial x}$ existe et est continue en tout point de $\{0\} \times{\mathbb R}^{\star}$

Enfin:
$3$ \frac{ \partial f}{\partial x} (0,0)=\lim_{ t \rightarrow 0}\frac{ f(t,0)-f(0,0)}{t}=0$
$3$ \lim_{ x \rightarrow 0+}\frac{ \partial f}{\partial x}(a,0)=1$ .
Donc $\frac{\partial f}{\partial x}$ est définie, mais n'est pas continue en $(0,0)$ .

Citation :
$f$ est de classe $C^1$ sur ${\mathbb R}^2 \setminus\{(0,0)\}$ , mais n'est pas continue sur $\mathbb R^2$

Posté par

jandri

re : Officiel de la Taupe: planche 86-2 07-03-09 à 17:18

Bonjour perroquet,

C'est très bien mais il y a un petit lapsus dans ta conclusion:

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c'est $\frac{\partial f}{\partial x}$ qui n'est pas continue sur $\mathbb R^2$ .
De plus dans la dernière limite c'est a qui tend vers 0.

Posté par

perroquetre : Officiel de la Taupe: planche 86-2 07-03-09 à 17:36

Bonjour.
Grâce à jandri, j'ai corrigé quelques erreurs.
Voici donc une solution, avec un peu moins de fautes que précédemment

Cliquez pour afficher

Continuité

f est continue sur $\quad {\mathbb R}^2 \setminus\{(0,0)\}\quad$   comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas.

De plus, on sait que   $\quad \forall t \in {\mathbb R} \quad |\sin(t)| \leq |t| \quad$ Donc:
$\forall (x,y) \in {\mathbb R}^2 \setminus \{(0,0)\} \quad |f(x,y)|\leq \frac{ |xy|}{|x|+|y|} \leq \max(|x|,|y|)|$
On en déduit que   $3$ \quad \lim_{ (x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=0$

Citation :
Donc, f est continue sur $\mathbb R^2$

Classe C^1

x et y jouant des rôles symétriques, il suffit d'étudier l'existence et la continuité de la dérivée partielle $\frac{ \partial f}{\partial x}$

Par les théorèmes généraux $\frac{ \partial f}{\partial x}$ existe et est continue en tout point de   $\quad \mathbb R^{\star}\times \mathbb R \quad$ , avec :
$\frac{ \partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{ y \cos(xy)}{|x|+|y|}-\frac{ \sin(xy)}{(x+|y|)^2} \quad$    si   $(x,y) \in ]0,+\infty[ \times\mathbb R$
$\frac{ \partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{ y \cos(xy)}{|x|+|y|}+\frac{ \sin(xy)}{(-x+|y|)^2} \quad$    si   $(x,y) \in ]-\infty ,0[\times\mathbb R$

De plus, pour $y \neq 0$ :
$3$ \frac{ \partial f}{\partial x}(0,y)=\lim_{ t \rightarrow 0}\frac{ f(t,y)-f(0,y)}{t}=\lim_{ t \rightarrow 0}\frac{ \sin(ty)}{t(|t|+|y|)}=\frac{ y}{|y|}$
On vérifie facilement que pour tout a non nul   $3$ \quad \lim_{ (x,y) \rightarrow (0,a)}\frac{ \partial f}{\partial x}(x,y)= \frac{ a}{|a|}=\frac{ \partial f}{\partial x}(a,0)$
Donc, $\frac{ \partial f}{\partial x}$ existe et est continue en tout point de $\{0\} \times{\mathbb R}^{\star}$

Enfin:
$3$ \frac{ \partial f}{\partial x} (0,0)=\lim_{ t \rightarrow 0}\frac{ f(t,0)-f(0,0)}{t}=0$
$3$ \lim_{ a \rightarrow 0+}\frac{ \partial f}{\partial x}(a,0)=1.$
Donc $\frac{\partial f}{\partial x}$ est définie, mais n'est pas continue en (0,0).

Citation :
f est de classe $C^1$ sur ${\mathbb R}^2 \setminus\{(0,0)\}$ , mais n'est pas de classe $C^1$ sur ${\mathbb R}^2$

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