Niveau exercices

oim 2006

Posté par
198765432 02-12-10 à 02:09

Problème 1.
Soit ABC un triangle et I le centre de son cercle inscrit. Un point P
intérieur au triangle vérifie
$\widehat{PBA} + \widehat{PCA} = \widehat{PBC} + \widehat{PCB}.$
Montrer que AP _ AI et que l'égalit´e a lieu si et seulement si P = I.

Problème 2.
Soit P un polygone régulier à 2006 côtés. Une diagonale de P est appelée
bonne si ses extrémités partagent le contour de P en deux parties ayant chacune un
nombre impair de côtés de P. Les côtés de P sont aussi appelés bons.
On suppose que P a été subdivisé en triangles par 2003 diagonales n'ayant deux `a
deux aucun point commun à l'intérieur de P. Trouver le nombre maximum de triangles
isocèles ayant deux côtés bons qui peuvent apparaître dans une telle subdivision.

Problème 3.
Trouver le plus petit réel M tel que l'inégalité
!ab(a² − b²) + bc(b² − c²) + ca(c² − a²)! M(a² + b² + c²)²
soit vérifiée pour tous nombres réels a, b et c.
!ab(a² − b²) + bc(b² − c²) + ca(c² − a²)! = valeur absolu