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°
ABPC est un parallélogramme.
d'où  °
Q(CP)
donc °

ABPC est un parallélogramme.


[CQ] et [AB] sont deux cordes parallèles.
Or, les arcs compris entre 2 cordes parallèles sont isométriques.
Comme 2 arcs isométriques sont sous tendus par 2 cordes isométriques  

(Bon là, je reconnais c'est un peu de la triche parce que ces 2 théorèmes (trouvés sur le net), je les connaissais pas mais on peut aussi passer par la médiatrice des cordes parallèles et les triangles isométriques ou par Thalès)

Par conséquent, QB=AC et PB=AC donc QB=PB
Le triangle QPB est isocèle de sommet B et °
Le triangle QPB est donc équilatéral et

Hum! Mes démonstrations géométriques laissent en général à désirer.
Comme disais ma prof l'année dernière:" De la rigueur! Encore de la rigueur! Toujours de la rigueur!"   Quel programme!

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Pour une démo utilisant des connaissances de niveau première, on peut montrer tout d'abord que :

On note le centre du cercle circonscrit aux points et .
Alors

De plus, en notant le milieu de et celui de , alors , le triangle étant isocèle.
Pour les mêmes raisons on a

Par ailleurs les droites et étant parallèles on en déduit que les points sont alignés, et donc que
On en déduit que , et les triangles et sont isométriques (1 angle égal compris entre 2 côtés égaux), on en déduit que

Partant de là, on a (car est un parallèlogramme) est équilatéral ce qui implique que (propriété du parallélogramme).

Dans l'autre sens, si , le triangle étant isocèle en (car comme montré précédemment), on obtient alors et par conséquent et le triangle est équilatéral, ce qui induit .