[Olympiades] un système non linéaire

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[Olympiades]  un système non linéaire
Posté par 
lafol   28-09-09 à 23:04
Bonsoir

un des 7 exercices proposés aux Olympiades Françaises mercredi dernier :

Citation :
Déterminer les triplets  de nombres réels tels que :

,   et 

pour que tout le monde puisse avoir le plaisir de chercher, merci de blanker les réponses (complètes ou pistes)
 Posté par 
veledare : [Olympiades]  un système non linéaire  29-09-09 à 05:56
bonjour lafol

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je trouve deux triplets solutions  

je ne donne pas ma methode maintenant

merci pour cet exercice

bonne journée
 Posté par 
Rudire : [Olympiades]  un système non linéaire  29-09-09 à 09:20
Bonjour

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Après quelques essais infructueux, je pose 

X=x/(x+1), Y=y/(y+1) et Z=z/(z+1) car les valeurs -1 ne peuvent pas être solutions

on a alors x=X/(1-X), y=Y/(1-Y) et z=Z/(1-Z) et les équations :

en posant P=(1-X)(1-Y)(1-Z)

YZ/P=12

XZ/P=4 

XY/P=4 

=> X=Z/3 et Y=Z que l'on remplace dans XZ=4P par exemple

Z²/3=4(1-Z/3)(1-Z)² 

4Z^3-19Z+28Z-12 = 0

(Z-2)²(4Z-3) = 0 soit deux valeurs de Z : 2 et 3/4 

d'où ( X , Y , Z )=( 2/3 ; 2 ; 2 ) ou ( 1/4 ; 3/4 ; 3/4 )

on revient en x, y , z :

( x ; y ; z ) = ( 2 ; -2 ; -2 ) ou ( 1/3 ; 3 ; 3 )

très joli exercice, merci lafol

Rudy
 Posté par 
dpiolympiades  29-09-09 à 10:09
Bon entraînement

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On voit assez vite que x=y ce qui fait avancer

ma réponse:

x=2  y=z =-2
 Posté par 
yoyodadare : [Olympiades]  un système non linéaire  29-09-09 à 11:23
Bonjour,

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Sauf erreur je trouve les couples (2,-2,-2) et (1/3,3,3) 

 Posté par 
pacoure : [Olympiades]  un système non linéaire  29-09-09 à 18:22
Bonjour,

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J'obtiens le système d'équations:

Une racine évidente y=-2

Pour 

, j'obtiens 2 racines 

or 

Par conséquent, 2 triplets possibles:

 et 
 Posté par 
lafol re : [Olympiades]  un système non linéaire  29-09-09 à 20:36
dpi :
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il t'en manque !

les autres :  Cliquez pour afficher
bravo ! la méthode de Rudi est très différente de la mienne, plus proche de celle de Pacou (qui n'est pas tout à fait assez rigoureuse : avant de diviser par y(y+1), on doit s'assurer qu'on ne risque pas de diviser par 0....)
 Posté par 
lafol re : [Olympiades]  un système non linéaire  04-10-09 à 21:56
ça vous intéresse d'en avoir d'autres ?
 Posté par 
carpediemre : [Olympiades]  un système non linéaire  05-10-09 à 15:50
salut lafol

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on remarque déja que x,y et z sont  0 et -1

en soustrayant les 2 dernières alors x=0 ou y=z donc y=z

on obtient donc un système à 2 inconnues qui par substitution (dans un cas faut justifier la  à postériori) conduit à une équation du 3e degré

or c'est des olympiades donc doit avoir des solutions simples

mon esclave me donne donc les solutions

on trouve donc (1/3,3,3) et (2,-2,-2)

ce me semble-t-il

avec plaisir 
 Posté par 
Rudire : [Olympiades]  un système non linéaire  05-10-09 à 19:51
Bonjour lafol

Citation :
ça vous intéresse d'en avoir d'autres ?

Oui

Rudy
 Posté par 
yoyodadare : [Olympiades]  un système non linéaire  05-10-09 à 19:52
Bonsoir,

je suis également partant pour un p'tit autre  !
 Posté par 
lafol re : [Olympiades]  un système non linéaire  05-10-09 à 23:04
ça m'ennuie un peu parce que je n'ai pas eu le temps de vraiment les chercher : j'aurais préféré être sûre d'avoir une solution qui tient la route avant de les poster, mais vos réponses me rassurent : l'un au moins d'entre vous saura en trouver une.

je recherche les énoncés et j'en poste un autre !
  Posté par 
carpediemre : [Olympiades]  un système non linéaire  06-10-09 à 15:51
donc l'un au moins d'entre nous a trouvé la réponse

j'aurais préféré que tu dises "tous..."

c'est plus rassurant, positif et encourageant ...ou alors tu ne crois pas en nous ?....

bon le prochain j'vais m'planter peut-être mais bon faut bien rire un coup