Niveau Master Maths

Optimisation continue

Posté par
Vantin 15-10-23 à 17:32

Bonjour, j'aimerais avoir une relecture sur un exercice. En voici l'énoncé :

Soit $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ une fonction différentiable en $x \in \mathbb{R}^n$ .

Question 1. Quelle est la direction $d \in \mathbb{R}^n$ en $x$ entraînant la plus forte diminution de la valeur de $f$ (par rapport à $f(x)$ ) ?

Modéliser ce problème en considérant uniquement les directions dont la norme est égale à 1. Donner la direction optimale et justifier.

Ce que j'ai fais:
Soit $x,d\in \mathbb{R}^n$ et $\epsilon \in \mathbb{R}$ . On cherche la direction d dans laquelle la fonction f diminue le plus rapidement. Autrement dit:
$\\ \begin{aligned} \\ \underset{ x \in X}{\min} \quad & f(x+ \epsilon d) \\ \\ \text{s.c.} \quad & \|d\| = 1 \\ \end{aligned} \\$
On va utiliser le l'expansion de Taylor d'ordre 1 pour modéliser la variation de f en ce point puisque f est différentiable:
$\\ \begin{aligned} \\ f(x + \epsilon d) &= f(x) + \nabla f(x)^\top \epsilon d + o(\|\epsilon d\|) \\ \\ &= f(x) + \nabla f(x)^\top \epsilon d + o(\epsilon) \\ \end{aligned} \\$
La variable de décision est $d$ donc seul $\nabla f(x)^\top d$ est optimisable:
$\\ \begin{aligned} \\ \underset{ x \in X}{\min} \quad & \nabla f(x)^\top  d \\ \\ \text{s.c.} \quad & \|d\| = 1 \\ \end{aligned} \\$
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a $\left| \langle \nabla f(x)^\top,  d \rangle \right| \leq \|\nabla f(x)\| \| d\|  =  \|\nabla f(x)\| \Longleftrightarrow - \|\nabla f(x)\| \leq   \langle \nabla f(x)^\top,  d \rangle  \leq \|\nabla f(x)\|$
Le minimum est atteint lorsque ces vecteurs sont antiparallèles et de direction opposés:
$\\ \begin{aligned} \\ \nabla f(x) &= - \lambda d \\ \\ \|d\| = 1 &\Rightarrow \|\nabla f(x)\| =  \lambda \\ \\ d &= -\frac{\nabla f(x)}{\|\nabla f(x)\|} \\ \end{aligned} \\$

Qu'en pensez-vous ? Merci par avance pour le temps que vous m'accorderez ! En vous souhaitant une bonne ifn de week-end.

Posté par re : Optimisation continue 16-10-23 à 19:13

salut

ça me semble bien long pour en arriver à la conclusion ...

selon

La dérivée directionnelle de f au point x suivant le vecteur d (de norme 1) est, si elle existe, la dérivée en 0 de la fonction d'une seule variable réelle g(t) = f(x + td) :

$D_df(x) = g'(0) = \lim _{t\to 0}\dfrac {f(x + td) - f(x)} t = \nabla f_d (x)$

et on veut le maximum de son opposé

or $\nabla f_d (x) = < \nabla f(x) | d>$ tout simplement

donc on veut le maximum de $-\nabla f_d (x) = - < \nabla f(x) | d>$

or le produit scalaire de deux vecteurs est maximal lorsque les vecteurs sont colinéaires et de même sens donc ... on obtient ton résultat ...

ce me semble-t-il ...