Niveau Licence-pas de math

optimisation sous contrainte

Posté par
nani60 25-09-24 à 17:18

Bonjour à tous,

Voici l'énoncé qui me pose problème, :

On considère 2 courses  consécutives de 3 chevaux A, B et C.
On donne les probabilités de victoire pour chacun d'eux :

$\mathbb{P}(A)=\dfrac{1}{6}$    ,   $\mathbb{P}(B)=\dfrac{1}{2}$    et   $\mathbb{P}(C)=\dfrac{1}{3}$

Voici les gains que l'on obtient pour 1 euro parié :

$g(A)=g_1=3$    ,   $g(B)=g_2=3$    et   $g(C)=g_3=3$

Notre capital de départ est noté S =100€ et on note S' notre capital après  les 2 courses.
On cherche à trouver quelles fractions de son capital $(b_1 ; b_2; b_3)$ on doit parier sur chaque cheval pour maximiser la moyenne   $\mathbb{E}[ln (\dfrac{S'}{S})]$

voici ma modélisation :
Je note :
$X_1$   la variable aléatoire qui donne le numéro du cheval gagnant à la 1ere course
$X_2$ le numéro du cheval gagnant à la 2e.   $X_1$   et $X_2$ sont supposées indépendantes et on a  :

$\mathbb{P}(X_1 =1) = \mathbb{P}(X_2 =1)=\mathbb{P}(A)$
$\mathbb{P}(X_1 =2) = \mathbb{P}(X_2 =2)=\mathbb{P}(B)$
$\mathbb{P}(X_1 =3) = \mathbb{P}(X_2 =3)=\mathbb{P}(C)$

A la 1ere course, c'est le cheval   $X_1$ qui gagne donc je remporte :
$S \times b_{X_1} \times g_{X_1}= 3S b_{X_1}$

A la 2e course, c'est le cheval   $X_2$ qui gagne donc je remporte :
$S'=3S b_{X_1} \times b_{X_2} \times g_{X_2} = 3^2S b_{X_1} b_{X_2}$

On calcule   $\ln$ du taux de croissance de notre capital:

$\mathbb{E}(\ln \frac {S'}{S})=\mathbb{E}(\ln (3^2 b_{X_1} b_{X_2}))\newligne \\ =\mathbb{E}(\ln (3 b_{X_1}))+ \mathbb{E}(\ln (3 b_{X_2}))\newligne \\ =\sum_{i=1}^{3}\ln(3b_i )\mathbb{P}(X_1 =i)+\sum_{j=1}^{3}\ln(3b_j )\mathbb{P}(X_2 =j)$

Dans notre cas, on a simplement :
$\mathbb{E}(\ln \frac {S'}{S})=2\sum_{i=1}^{3}\ln(3b_i )\mathbb{P}(X_1=i)$

Ensuite, on optimise sous la contrainte   $\sum_{i=1}^{3}b_i = 1$

On définit le lagrangien :
   $\mathcal{L} (b_1,b_2,b_3,\lambda)= 2\sum_{i=1}^{3}\ln(3b_i )\mathbb{P}(X_1=i)-\lambda (\sum_{k=1}^{3} b_k-1)$

On cherche ses points critiques en annulant son gradient

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b_1} = \frac {2\mathbb{P}(A)}{b_1}-\lambda=0$     ce qui donne :   $b_1=\frac {2\mathbb{P}(A)} {\lambda}$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b_2} = \frac {2\mathbb{P}(B)}{b_2}-\lambda=0$     ce qui donne :   $b_2=\frac {2\mathbb{P}(B)} {\lambda}$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b_3} = \frac {2\mathbb{P}(C)}{b_3}-\lambda=0$     ce qui donne :   $b_3=\frac {2\mathbb{P}(C)} {\lambda}$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} =\sum_{k=1}^{3} b_k-1=0$    ce qui donne :
$1=\sum_{k=1}^{3} b_k=\frac{2(\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(C))}{\lambda}=\frac{2}{\lambda}$       donc   $\lambda=2$
En conclusion : La répartition $(b_1,b_2,b_3)=(\mathbb{P}(A),\mathbb{P}(B),\mathbb{P}(C))$   est celle qui maximise le taux de gain à 2 courses.

Dans ce cas, on a :

$\mathbb{E}(\ln \frac {S'}{S})=2(\ln(\frac{3}{6}) \times \frac{1}{6}+\ln(\frac{3}{2}) \times \frac{1}{2}+\ln(\frac{3}{3}) \times \frac{1}{3} )\simeq 0,17$

donc le taux de gain moyen est   $e^{0,17}=1,19$   soit un gain de 20% en moyenne sur 2 courses

Mon raisonnement est-il correct ?
Merci d'avance