L'équipe cycliste Véloose de Touloose, mondialement réputée, en manque de flouse, et dont le moral n'est pas au beau fixe désire optimiser les victoires de son cycliste vedette et pilier incontestable de l'équipe : Charles-Michmich Laloose, droit dans ses shooses, et déjà trois fois détenteur du maillot jaune devant marron derrière.

À cette fin, l'équipe décide d'implémenter un système d'aide électrique dans sa bicyclette de compèt'. Mais afin de dissimuler la supercherette, la capacité qu'embarque la batterie du système est limitée. Elle recrute donc un(e) technicien(ne) (vous) expert en mathématiques, et notamment en optimisation.

Le but : étant donné un parcours (voir figure et la description ci-dessous), comment devez-vous utiliser l'énergie disponible dans la batterie pour optimiser le chrono de notre vedette ?



- Les données :
  - Topographie : Le parcours consiste en :
    - une montée de longueur L de pente q constante,
    - un plat de longueur L,
    - une descente de longueur L et pente négative -q constante également.
  - Puissance du cycliste : le cycliste développe une puissance constante Pc tout le long du parcours.
  - Puissance de l'assistance électrique : On admettra que cette puissance est constante dans la montée, constante sur le plat, et constante dans la descente ; ces 3 constantes pouvant différer bien évidemment. Cette puissance peut-être négative (rechargement de la batterie).
  - Énergie embarquée. Cette énergie, qui est l'intégrale de la puissance, est limitée par une quantité W : quand on atteint W, les batteries sont à plat.
  - Modélisation :
    - Les frottements secs et la gravité sont pris en compte.
    - Pas de frottement aérodynamiques (car c'est inextricable à la main).
    - On néglige les effets inertiels (accélération, freinage)

Étant dans un forum de mathématique et non de physique, je détaille ci-dessous la modélisation. Vous pouvez bien sûr ignorer cette description en italique et vous concentrer directement sur le problème mathématique issu de cette modélisation, que je donne à la fin.

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Notations:
- pentes : q ou 0 ou -q (q>0).
- Vitesse du cycliste : V(t)
- Puissance fournie par le cycliste + puissance de l'assistance électrique : Pc+P(t)
- Masse du cycliste + équipement : m
- Puissance perdue par gravité : m*g*q*V(t)  ou 0 ou -m*g*q*V(t)  selon si montée, plat ou descente.
- Puissance perdue par frottements secs : k*V(t)² (k est un coefficient >0)

Modèle physique:
À l'équilibre, on vérifie l'égalité des puissances :
Pc+P(t)= mgaV(t) + k*V(t)²  où a=q, 0, -q selon si montée, descente, plat

On normalise les grandeurs :
Soit V_0 = qmg/(2k). Notons v(t)=V(t)/V_0 ; pc+p(t) = (Pc+P(t))/(k V_0²). Ainsi :
pc+p(t)= 2Av(t) + v(t)²  (A=1, -1, 0 selon si montée, plat, descente)

On extrait la vitesse du schmilblick:
- (montée)
- (plat)
- (descente)
On notera x, y, z les puissances fournies en montée, plat et descente (incluant la puissance du cycliste). Donc les 3 expressions ci-dessus se réécrivent :
- (montée)
- (plat)
- (descente)

Le temps de parcours total (normalisé) est la somme des temps de parcours individuels. Soit :

  
L'énergie consommée (normalisée) par l'assistance électrique à l'issue du parcours est l'intégrale de la puissance consommée, c'est à dire :


Noter que cette modélisation n'élimine pas la possibilité d'atteindre un état de charge négatif pour la batterie... Mais on supposera que cet aspect ne nous gênera pas. Par ailleurs, il est logique de considérer que la batterie est utilisée au mieux lorsqu'elle termine la course en étant complètement vidée.
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La question issue de cette modélisation est donc la suivante :
Minimiser, pour


Sachant que

(w est une donnée liée à la capacité de la batterie, que l'on supposera "suffisamment" grande)

Bon divertissement