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oral du 10 juillet divers type de raisonnement
Bonjour, j'ai un petit soucis.
Étant donné un entier naturel n > 2, on se propose d'étudier l'existence de trois
entiers naturels x; y et z tels que x² + y² + z² congru à -1 (modulo 2^n).
1) Cas où n = 2 : Montrer que 1; 3 et 5 sont solutions du problème.
2) On suppose dorénavant que n est un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Supposons qu'il existe trois entiers naturels x; y et z tels que x² + y² + z² congru à -1 (modulo 2^n).
a) Montrer que les entiers x; y et z sont tous impairs ou que deux d'entre eux
sont pairs.
b) On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. Montrer qu'on a alors
x² + y² + z² congru à 1 (modulo 4) et en déduire une contradiction.
c) On suppose que x; y et z sont impairs. Montrer qu'on a x² + y² + z² congru à 3 (modulo 8) et conclure.
Voila l'exercice qui était proposé et je voudrais vos avis après avoir traité l'exo j'ai un doute sur la contradiction de la question b faut il juste dire que donc les 3 sont impaires? Et après avoir fait la question c) je ne vois pas du tout quoi conclure je ne vois pas vraiment le lien.
Merci
Bonjour
Alors reprenons 2):
a) Il est clair que si x,y,z sont pairs ils ne sont pas solution de l'équation, donc au moins un impair.
b) Cas ou un seul est impair: x, y pairs z impair, , donc
donc (x,y,z) n'est pas solution.
c) Dernier cas: x,y,z sont tous les 3 impairs. , donc
, donc (x,y,z) n'est pas solution.
Conclusion: si c'est impossible!
Oui, j'ai plutôt mal rédigé. Prenons b): si on avait ; comme
, 4 diviserait
, donc contradiction avec
Pareil dans c)
Ben, si il est bien supérieur à 2, non?
Je crois que tu ne le vois pas dans le bon sens! Si ,
Ensuite on a montré que ça ne marche dans aucun cas.
2) On suppose dorénavant que n est un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Donc on ne peu pas utiliser ce que tu dit?
Mais si! Reprenons. Soit et soient x,y,z tels que
. Donc
divise
. Comme
,
est divisible par 4 et par 8.
Mais on a vu dans b) et dans c) que s'il y a des impairs, on a ou
. Dans le premier cas 4 devrait diviser 2 et dans le second 8 devrait diviser 4.
ok j'ai compris exercice qui parait simple et en fait la théorie derrière n'est pas évidente.Merci Camelia je vais avoir surement besoin de toi plus d'une foi durant le mois qui arrive.lol
Je passais par hasard ici car je recherchais des exercices pour les différents types de raisonnement et j'ai donc lu ce sujet.
Il faut faire attention pour ceux qui veulent l'utiliser car une petite erreur s'est glissée.
2.b)
x, y pairs z impair, x^2+y^2+z^2
1 (mod 4), donc x^2+y^2+z^2 1 (mod 2^n) donc (x,y,z) n'est pas solutionLe donc n'est pas correct. Comme tu le précises plus tard à juste titre, on ne peut dire que :
Si n
3, a b (mod 2^n)
a b (mod 8) a b (mod 4)La réciproque étant évidemment fausse.
On a donc :
x, y pairs z impair, x^2+y^2+z^2
1 (mod 4).
Supposons que x^2+y^2+z^2
-1 (mod 2^n)
Alors x^2+y^2+z^2
-1 (mod 4)
Mais -1 (mod 4)
1 (mod 4)
On aboutit donc à une contradiction.
On a ainsi le résultat voulu.
Bonjour.
Si n 3 et si a -1 (mod 2n), alors a (7) (mod 8) et a 3 (mod 4).
Soit x = 8k+r.
x² = 64k²+16r+r²
Les carrés de x et de son modulo (8) ont le même modulo(8).
Si r est impair, r² 1 (mod 8) et r² 1 (mod 4)
Si r = 0 ou r = 4, r² 0 (mod 8) et r² 0 (mod 4)
Si r = 2 ou r = 6, r² 4 (mod 8) et r² 0 (mod 4)
Donc le modulo (8) de x² est 1, 0 ou 4.
Pour que la somme 7 (mod 8), il faut qu'un seul nombre ou les trois soient impairs.
Trois nombres impairs : la somme des modulo (8) est 1+1+1 = 3; le modulo (8) de 3 n'est pas 7.
Un seul nombre impair : la somme des modulo (4) est 1+0+0 = 1; le modulo (4) de 1 n'est pas 3.
Il n'y a donc pas de solution.
Bonjour
j'adore les gens qui corrigent le deuxième post 10 mois plus tard, sans prendre le temps de lire les corrections déjà apportées par l'auteur du post en question ..... 10 mois, ce n'est pas assez pour lire une douzaine de posts ?
Bonjour Lafol.
J'ai été désobligé par votre remarque.
Vous n'avez jamais eu des problèmes parce que vous n'aviez pas fait attention à lire la date de tel ou tel document ?
J'aurais dû préciser : mon message s'adressait à Romain6 qui remettait en cause ce que Camelia avait écrit alors qu'elle l'avait rectifié elle même depuis longtemps.
Désolée si je vous ai froissé, plu(me)²teore, ce n'était pas destiné à votre post qui, lui, ne remettait pas en cause ce que les intervenants précédents avaient pu écrire.
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