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Oraux Centrale 2008: séries

Posté par
perroquet 12-11-08 à 19:33

Voici donc un nouvel énoncé

Citation :
Soit $3$\ F:\ {\mathbb N}\times {\mathbb N}\rightarrow {\mathbb R} \ , \ (n,k) \rightarrow \frac{(k!)^2}{((n+k+1)!)^2}$

1a) Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , la série de terme général $F(n,k)$ est convergente. On posera dans la suite
$3$\sigma_n=\sum_{ k=0}^{+\infty}F(n,k)$

1b) Calculer $\sigma_n$ , pour $n \in [0,10]$ , avec le logiciel de calcul formel.

2) Soit $3$\ G:\ {\mathbb N}\times {\mathbb N}\rightarrow {\mathbb R} \ ,\ (n,k)\rightarrow (3n+2k+3)F(n,k)$

2a) Soit $\(n,k) \in {\mathbb N}^2 \$ . A l'aide du logiciel de calcul formel, comparer
$3$ \ (n+1)^3F(n+1,k)-(4n+2)F(n,k) \$ et $3$ \ G(n,k+1)-G(n,k)$

2b) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :
$3$ \ (n+1)^3 \sigma_{n+1}-(4n+2)\sigma_n = -\frac{3n+3}{((n+1)!)^2}$

2c) Déterminer une suite $(P_n)_{n \in \mathbb N}$ telle que, pour tout entier $n$ :
$3$ \ \frac{ \sigma_{n+1}}{P_{n+1}}- \frac{ \sigma_n}{P_n}= - \frac{3((n+1)!)^2}{(n+1)^2 (2n+2)!}$

3) Conclure que la série de terme général $\frac{ 1}{n^2C_{2n}^n}$ est convergente et que
$3$ \ \sum_{ n=1}^{+\infty} \frac{ 1}{n^2C_{2n}^n}= \frac{ \pi^2}{18}$

Posté par re : Oraux Centrale 2008: séries 13-11-08 à 19:03

Bonsoir perroquet,

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Posté par re : Oraux Centrale 2008: séries 23-11-08 à 18:54

Bonsoir !

perroquet,

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en même temps, ça sert de up

Posté par re : Oraux Centrale 2008: séries 23-11-08 à 19:09

Salut, j'ai la solution... Le temps de la rentrer au Latex pour demain je pense. Je m'occupais du problème suite et récurrence.

Si tu veux un indice disons qu'il faut ramener l'équation de la 2b) à l'équation demandée par simple division par $2$\(n+1)^3$ pour commencer...

Posté par re : Oraux Centrale 2008: séries 24-11-08 à 17:11

Divisons la relation de la question $2$\red\2b$ par ${(n+1)^3}$

On obtient :

$2$\sigma$ _n+1 - $2$\frac{4n+2}{(n+1)^3}$ $2$\sigma$ _n = $2$\frac{-(3n+3)}{((n+1)!)^2}$ $2$\frac{1}{(n+1)^3}$

Puis en divisant par P_n+1

On obtient :

$2$\frac{[tex]2$\sigma_{n+1}}{P_{n+1}}$ - $2$\frac{4n+2}{(n+1)^3}$ $2$\frac{[tex]2$\sigma_{n}}{P_{n+1}}$ = $2$\frac{-(3n+3)}{((n+1)!)^2}$ $2$\frac{1}{(n+1)^3}$ $2$\frac{1}{P_{n+1}}$

Soit donc $2$\red\(1)$ P_n+1= $2$\frac{4n+2}{(n+1)^3}$ P_n

On a alors $2$\red\(2)$

$2$\frac{[tex]2$\sigma_{n+1}}{P_{n+1}}$ - $2$\frac{[tex]2$\sigma_{n}}{P_{n}}$ = $2$\frac{-(3n+3)}{((n+1)!)^2}$ $2$\frac{1}{(n+1)^3}$ $2$\frac{1}{P_{n+1}}$

La relation $2$\red\(1)$ donne par itération la relation $2$\red\(3)$ :

$P_{n+1}$ = $2$\frac{2(2n+1)2(2n-1)....2(5)2(3)}{((n+1)!)^3}$ $P_{0}$

Or on peut écrire (2n+1)(2n-1)....(5)(3) = $2$\frac{(2n+2)!}{2^{n+1}(n+1)!}$

En remplaçant dans $2$\red\(3)$ on obtient après simplification :

$P_{n+1}$ = $2$\frac{(2n+2)!}{(n+1)!^4}$ $P_{0}$

Soit en reportant dans l'équation $2$\red\(2)$

$2$\frac{[tex]2$\sigma_{n+1}}{P_{n+1}}$ - $2$\frac{[tex]2$\sigma_{n}}{P_{n}}$ = $2$\frac{-(3n+3)}{((n+1)!)^2}$ $2$\frac{1}{(n+1)^3}$ $2$\frac{((n+1)!)^4}{(2n+2)!}$ $2$\frac{1}{P_{0}}$

Soit encore après simplification $2$\red\(4)$ :

$2$\frac{[tex]2$\sigma_{n+1}}{P_{n+1}}$ - $2$\frac{[tex]2$\sigma_{n}}{P_{n}}$ = $2$\frac{-3((n+1)!)^2}{(2n+2)!(n+1)^2}$ $2$\frac{1}{P_{0}}$

CQFD.

L'énoncé précise de choisir une suite. Prenons sans incidence sur le résultat final $P_{0}$ = 1.

Et donc $P_{n}$ = $2$\frac{(2n)!}{(n!)^4}$

Si l'on calcule (pour s'amuser) les premières valeurs en résolvant les équations $2$\red\2b$ et $2$\red\2c$ , on vérifie bien cette formule jusqu'au rang 6 à savoir

$P_{1}$ = 2
$P_{2}$ = 3/2
$P_{3}$ = 5/9
$P_{4}$ = 35/288
$P_{5}$ = 7/400
$P_{6}$ = 77/43200

De façon plus générale, on vérifie bien que si l'on remplace les expressions de P_n et de P_n+1 dans l'équation $2$\red\(2)$ , on retrouve bien la $2$\red\2b$

Dans l'équation $2$\red\(4)$ au rang n et avec P₀=1, remarquons que

$2$\frac{[tex]2$\sigma_{n}}{P_{n}}$ - $2$\frac{[tex]2$\sigma_{n-1}}{P_{n-1}}$ = $2$\frac{-3(n!)^2}{(2n)!n^2}$ $2$\frac{1}{P_{0}}$ = $2$\frac{-3}{n^2}$ $\frac{1}{\\n\choose {2n}}$

D'où après sommation classique membre à membre

$2$\frac{[tex]2$\sigma_{n}}{P_{n}}$ - $2$\frac{[tex]2$\sigma_{0}}{P_{0}}$ =-3 $3$\Bigsum_{k=\1}^{k=n}\frac{1}{k^2}$ $\frac{1}{\\k\choose {2k}}$

On sait que $2$\sigma_{0}$ = $3$\frac{pi^2}{6}$

De plus, $2$\frac{[tex]2$\sigma_{n}}{P_{n}}$ est une suite décroissante minorée par 0 avec >0 il existe N tel que n > N ==>| $2$\frac{[tex]2$\sigma_{n+1}}{P_{n+1}}$ - $2$\frac{[tex]2$\sigma_{n}}{P_{n}}$ | < ==> Lim $2$\frac{[tex]2$\sigma_{n}}{P_{n}}$ =0

On obtient donc $3$\Bigsum_{k=\1}^{k=\infty~}\frac{1}{k^2}$ $\frac{1}{\\k\choose {2k}}$ =₀/(3P₀)= $4$\frac{pi^2}{18}$

CQFD.

Donc le rapport $2$\frac{[tex]2$\sigma_{n}}{P_{n}}$ = $4$\frac{pi^2}{6}$ +b_n avec b_n= $3$\Bigsum_{k=\1}^{k=n}\frac{-3}{k^2}$ $\frac{1}{\\k\choose {2k}}$

$b_{1}$ = -3/2 (-1,5)
$b_{2}$ = -39/24 (-1,625)
$b_{3}$ = -197/120 (-1,641)
$b_{4}$ = -(1105*15)/(14*720) (-1,64434)
$b_{5}$ = -(27633*3)/(50400) (-1,64482)
$b_{6}$ = -(911939)/554400 (-1,64491) tend rapidement vers - $3$\frac{pi^2}{6}$ (-1,64493...)