Bonjour et merci pour ce petit exercice.
On trouve P(6)=

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40

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On a qui donne (pour ).
On en déduit

Bravo jandri!

Bonjour,
Pour ceux qui veulent une piste sans la réponse :

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Utiliser le polynôme XP(X).

Ça m'a été proposé hier sur Youtube aussi

La solution de jandri est encore plus élégante

On peut généraliser :
Soit P un polynôme de degré n-1 tel que P(k)=n!/k pour k=1, 2, 3, ... , n.
Trouver P(n+1).
On peut ajouter la question : pour quelles valeurs de n est-ce un entier ?

Je ne réponds que partiellement :

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P(n+1) = 0 si n est pair.
P(n+1) = 2n!/(n+1) si n impair.

Complément :

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P(n+1) est toujours un entier car 2n!/(n+1) se simplifie par 2 si n est impair.

Très bien Sylvieg pour la valeur de P(n+1) mais je ne suis pas d'accord pour le complément.

Je détaille :

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Si n = 2p+1
P(n+1) = (2p+1)!/(p+1) et c'est un entier.

Il reste le cas où n est pair.

J'ai déjà répondu pour ce cas.

Tu as entièrement raison, j'avais oublié que le cas où n est pair a une formule différente du cas n impair !

Bonjour,
en fait ma question du 05-08-24 à 15:58 est mal posée : je prenais la formule du cas impair pour le cas pair.

Une question plus intéressante : montrer que le polynôme de degré tel que pour de à est un polynôme à coefficients entiers.
On peut même montrer qu'il vérifie une récurrence simple :

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