salut

allez pour lancer la machine ...

ta première figure m'inspire un triangle rectangle et isocèle qu'on découpe en deux suivant la bissectrice de l'angle droit

puis on recommence en prenant toujours la bissectrice des angles droits des deux sous-triangles rectangles (semblables)

puis on recommence avec les quatre sous-triangles semblables ... et ainsi de suite

donc on obtient les entiers n = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ....


la deuxième figure m'inspire (fortement grâce au codage !!) un triangle équilatéral que tu as découpé en trois

puis on découpe chaque sous-triangle en deux par leur hauteur = bissectrice issue du sommet "d'isocélité"

et alors n = 3 + 6 = 9

je te propose

qui montre n = 24

enfin il me semble !!

Bonjour,

exemple n=5

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et de façon générale par le même procédé en n = a²+b² pour tout a et b entiers

Bonjour,

Il me semble qu 'en utilisant les parallèles aux cotés on obtient
de nombreux n et leur n² et si on ajoute des triangles particuliers
(rectangle ,équilatéral) on comble les autres n.
Il faut donc faire la chasse aux exceptions:
Je cherche  n=7 ?

En effet avec la remarque de Mathafou , n=7 est le premier cas qui pose problème ( n=6 s'obtient en coupant en deux les triangles du cas n=3 ) .

Imod

actuellement on sait donc faire

2
3 et son double (6)
les carrés, leur double, leur triple et leur sextuple
les sommes de deux carrés, et leur double
(la découpe en 5 précédente donne immédiatement en 10 en accolant un deuxième triangle identique)

résistent
7, 11, 14, 15, 19, 21, 23 ....

Une question annexe , les pavages proposés se font avec des triangles isocèles ou rectangles ( la moitié d'un isocèle ) . A part le cas n=3 , existe-t-il un triangle pouvant être pavé avec un nombre impair n de triangles isocèles identiques ?

Imod

la question ne se pose que si n n'est pas un carré bien entendu.

Oui , j'ai trop souvent la tête dans le guidon et les questions ne sont pas claires

Imod

Je ne sais pas si quelqu'un continue à chercher , personnellement je suis toujours avec les 7 triangles et j'ai assez vite renoncé à tester les différents découpages : il y en a trop . Par contre on peut remarquer que le grand triangle est un agrandissement du petit , ses côtés sont donc ceux du petit multiplié par . Si on note a , b et c les côtés du petit triangle , on a sur chaque côté du grand une égalité du genre avec m , n , p entiers extrêmement contraints . Si on se limite aux triangles isocèles on n'a plus que deux côtés a et b mais je ne sais pas si ça simplifie l'étude .

Imod

il n'y a à priori aucune raison que le grand triangle soit semblable au petit.
exemple avec n = 3 et le triangle équilatéral du message initial.

on remarque juste que pour tous les exemples trouvés avec n > 3 c'est le cas, ou bien la moitié du grand semblable au petit pour des n pairs (exemples n =6 ou 10)

je ne pense pas qu'il faille restreindre à des triangles isocèles (ou rectangles), vu que c'est déja sans doute impossible sans cette contrainte.
mais sait on jamais...

devant la croissance exponentielle du nombre de façons de découper un triangle en n triangles (quelconques) j'ai aussi abandonné cette recherche...
déja avec n =4 on a pour des triangles de même aire, sauf oubli ou équivalence non vue, 21 façons de le découper :


(quelques uns en plus si on relâche cette contrainte d'égalité des aires ?)

Je ne me plaçais pas dans le cas général mais uniquement dans le cas n=7 . Les angles du grand triangle sont des sommes des angles du petit et leur somme vaut un plat ce qui limite énormément les dispositions . Mais tu as raison , il y a beaucoup de situations à envisager même en se limitant à ce cas . J'ai tout de même une grosse impression qui les angles du petit triangle devront aussi être ceux du grand ( à supposer bien sûr que la construction existe ) .

Imod

En fouillant sur la toile j'ai trouvé un article de Jean-Paul Delahaye paru dans Pour la science N°500 et qui évoque le problème .

Il est prouvé que les cas n=7 et n=11 sont impossibles par contre 28 et 44 sont possibles . Le cas n=14 est toujours ouvert .

Curieusement même le cas de la découpe d'un triangle équilatéral en n triangles égaux n'est pas encore complètement résolu .

Il va falloir rester humble sur ce coup

Imod