Bonsoir.
Je ne suis pas certain d'avoir bien compris ton problème.

Ce que je propose.

Comme f est C1 sur l'intervalle fermé [0;1] la valeur absolue de f' est C0 sur cet intervalle et elle a un maximum M₁.
On a alors


On pourrait pendre mais tu sembles vouloir écarter les fonctions affines.
On peut alors prendre et .

On a bien g strictement convexe et

Bonjour,

O.o

Bonjour Dattier7.
Il y a une différence entre « je ne suis pas certain d'avoir compris » et « je suis certain de ne pas avoir compris ».

Par exemple je serais intéressé par la raison qui fait que ma réponse ne te conviens pas.

De plus donner cette raison aiderait sans doute d'autres à deviner la question que tu veux poser.

La bonne volonté ne peut pas venir que des autres intervenants. Tu peux aussi en mettre un peu.

Bonjour,

Oui, tu as raison, cela ne peut être que dans un sens, en fait M=max(|f'|)

Bonne journée.

Cela ne peut pas être que dans un sens.

D'accord.

Je vois pourquoi tu exiges que f soit non concave : il faut éliminer les fonctions affines.

Je pense qu'il n'est pas toujours possible de trouver une fonction g répondant à tes conditions, mais je n'ai pas de démonstration.

Je vais essayer d'y réfléchir.

Merci pour le problème.

Un contre-exemple :



La courbe de f


et celle de sa dérivée

Ok.

Et qu'en est-il de cette énoncé.

non linéaire.
Existe-t-il fonction convexe et concave non toutes les 2 linéaires tel que :

?

Bonsoir Dattier7.
Cherche un peu par toi-même.

Je pense que la réponse est oui, je donnerais la réponse si tous le monde bloque, et qu'il y a des gens intéréssaient par la réponse.

Oui, désolé : Bonsoir et bonne soirée.

Dattier7
énoncé est masculin, donc cet énoncé et non cette

donnerais est bien un conditionnel, dont j'ai précisé au moins 2 conditions.

non...
mets le au pluriel quand tu ne sais pas
on dirait "nous donnerons la réponse si tout le monde bloque " et non, "nous donnerions la réponse si tout le monde bloque"
par contre
'je donnerais la réponse si tout le monde bloquait "

Je ne pense pas qu'il existe de fonctions Co et Ca du type voulu quelque soit f dans C([0;1]).
Mais il est très possible que mon intuition soit fausse.

Je vais chercher un contre-exemple.

non linéaire.

non affine pardon

Ça, j'avais enregistré.
Je suppose aussi que Co et Ca sont de classe C¹.

En cherchant un contre-exemple mon intuition ne me semble plus aussi vraie.

Et j'en viens à chercher une démonstration.

Je n'avais pas bien lu l'énoncé toutes mes excuses et une esquisse de démonstration.

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f' est une fonction continue sur [0,1], elle atteint donc son minimum m et son maximum M, avec m<M car f' est non constante par hypothèse ( f n'est pas affine).

Je note u la fonction convexe et n la fonction concave.
Alors u' est une fonction croissante et n' une fonction décroissante vérifiant :



Comme on a

Si
Il est alors immédiat que l'on peut prendre pour n' une fonction strictement décroissante et « en dessous » de f' sur un intervalle [0,a] puis constante et égale  m sur [a,1].
On prend u'=M et on a deux fonctions qui répondent à la question en intégrant u et n, n étant strictement concave.

Si on a et on fait la même chose avec u.

Bravo, cela me semble correct.

C'est surprenant à énoncé, quand on ne connait pas l'explication.

C'est beaucoup plus facile que le premier problème que tu postas dans ce fil.

J'ai eu un peu de mal car il restait des traces de valeurs absolues dans mon esprit.

Et c'est toujours un plaisir de voir qu'il y a aussi mauvais que moi en orthographe.
Mais j'essaye de me corriger.

Merci.

A noter que si on ajoute la condition 0<f'(0)<f'(1) alors le premier problème est, je le pense, vrai.

C'est presque évident.

De fait il y a une condition que je trouve plus surprenante.

Si f n'est pas monotone alors il existe une fonction g convenant pour le premier problème.
Saurais-tu le démontrer ?

Non, car je suis d'accord avec toi, ceci est bien un contrexemple au première énoncé :

verdurin @ 04-08-2017 à 19:37

Un contre-exemple :
...
et celle de sa dérivée

Je suis bête la fonction est convexe :
contre-exemple :

Pour infirmer ton « contre exemple » tu peux prendre une primitive de la fonction u définie sur [0;1] par

Oui, c'est possible.

Demain, je mettrais mon explication.

Même si je n'aime pas trop le faire, car on ne se gêne pas à s'approprier mes idées sans jamais cité la source, car mes idées sont tellement simple qu'elle semble facile à trouver alors que ce n'est pas du tout le cas, et donc je n'ai aucune reconnaissance du travail accomplit, et cela me dérange profondément.

Un petit dessin représentant f'(x) et u(x) pour comprendre


u est une fonction strictement croissante donc ses primitives sont strictement convexes.
Dans tous les cas on a |u(x)||f'(x)|.
La courbe de |f'|  est en rouge.

J'ai l'impression d'une entoure loupe comme à chaque fois, sauf que c'est fois je ne dirais plus rien, c'est fini, sauf à reconnaître publiquement mon travail.

Si mon travail n'a aucune utilité alors, pas trés grave j'aurais la statisfaction d'avoir essayer.

Merci Verdurin pour l'intêret que tu as porté à mon problème, mais j'en ai marre d'être considèrer comme un cas social, alors je contribue de manière significative à l'économie du pays.

Si ce n'est pas le cas, alors je délire et j'en resterais là.

Fin de la transmission.

Et un post-scriptum.
Tu peux librement  t'approprier mes « idées » sur ce sujet.
Je trouverai poli que tu me cites si tu les réutilises.
Mais, si tu ne le fais pas, je n'en ferai pas un drame.
(Et je ne suis pas certain que l'usage du futur de l'indicatif soit vraiment justifié grammaticalement)

Nos messages se sont croisés.
Je vois que tu t'es désinscrit, et je ne sais pas si tu liras ce qui suit.

Il ne me semble pas que je t'ai pris pour un « cas social ».
Encore qu'en un sens un peu général, chaque personne est un cas social.

Tu as posé une série de problèmes, dont certains ne m'intéressent pas.

Mais ce n'est en aucun cas une marque de mépris.

Je crois que tu fais des mathématiques en amateur.
Moi aussi, même si j'ai enseigné quelques rudiments dans le secondaire.

Ce que j'ai appris : il faut savoir preuve d'humilité.
Je parle pour moi, je ne suis pas aussi bon que je le crois.
Et, à lire les forums de maths, je ne suis malheureusement pas le seul.
Ni même le pire.